Дано:
P(P ∩ I) = 0,02 — вероятность того, что Петров и Иванов одновременно присутствуют на лекции.
P(¬P ∩ ¬I) = 0,72 — вероятность того, что ни один из них не пришёл на лекцию.
Найти:
P(P) — вероятность появления Петрова на лекции.
P(I) — вероятность появления Иванова на лекции.
Решение:
Обозначим:
P(P) = p — вероятность появления Петрова на лекции.
P(I) = q — вероятность появления Иванова на лекции.
Из условия задачи можем записать следующее:
1. P(P ∩ I) = p * q = 0,02.
2. P(¬P ∩ ¬I) = (1 - p) * (1 - q) = 0,72.
Разложим второе уравнение:
(1 - p)(1 - q) = 0,72
1 - p - q + pq = 0,72
Теперь выразим pq из первого уравнения:
pq = 0,02.
Подставляем это значение во второе уравнение:
1 - p - q + 0,02 = 0,72
1 - p - q = 0,72 - 0,02
1 - p - q = 0,70
p + q = 1 - 0,70
p + q = 0,30.
Теперь у нас есть система уравнений:
1) p * q = 0,02
2) p + q = 0,30
Из второго уравнения выразим q:
q = 0,30 - p.
Подставим полученное значение q в первое уравнение:
p * (0,30 - p) = 0,02.
Раскроем скобки:
0,30p - p^2 = 0,02.
Перепишем уравнение в стандартной форме:
p^2 - 0,30p + 0,02 = 0.
Теперь воспользуемся формулой для решения квадратного уравнения:
p = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a,
где a = 1, b = -0,30, c = 0,02.
Вычислим дискриминант:
D = (-0,30)^2 - 4 * 1 * 0,02 = 0,09 - 0,08 = 0,01.
Теперь подставим значения в формулу:
p = [0,30 ± sqrt(0,01)] / 2(1)
= [0,30 ± 0,1] / 2.
Получаем два значения:
p1 = (0,30 + 0,1) / 2 = 0,40 / 2 = 0,20.
p2 = (0,30 - 0,1) / 2 = 0,20 / 2 = 0,10.
Теперь найдем соответствующие значения q:
Для p1 = 0,20:
q1 = 0,30 - 0,20 = 0,10.
Для p2 = 0,10:
q2 = 0,30 - 0,10 = 0,20.
Поскольку по условию Петров посещает лекции чаще, чем Иванов, принимаем:
P(P) = 0,20.
P(I) = 0,10.
Ответ:
Вероятность появления на лекции для Петрова равна 0,20, вероятность появления на лекции для Иванова равна 0,10.