Дано:
1. Вероятность совместного появления на лекции: P(A ∩ B) = 0,1.
2. Вероятность того, что оба не придут на лекцию: P(¬A ∩ ¬B) = 0,8.
3. Петров прогулял 87% лекций: P(¬A) = 0,87.
Найти:
Вероятность того, что Васечкин прогулял лекции: P(¬B).
Решение:
Сначала найдем вероятность, что хотя бы один из них не пришел на лекцию:
P(¬(A ∩ B)) = 1 - P(A ∩ B) = 1 - 0,1 = 0,9.
Полная вероятность, что хотя бы один из них не пришел, может быть выражена как:
P(¬A ∩ B) + P(A ∩ ¬B) + P(¬A ∩ ¬B) = P(¬(A ∩ B)) = 0,9.
Мы уже знаем P(¬A ∩ ¬B) = 0,8, поэтому подставим это значение:
P(¬A ∩ B) + P(A ∩ ¬B) + 0,8 = 0,9.
Теперь выразим P(¬A ∩ B) + P(A ∩ ¬B):
P(¬A ∩ B) + P(A ∩ ¬B) = 0,9 - 0,8 = 0,1.
Таким образом, мы имеем два события:
1. P(¬A) = 0,87 (Петров не пришел).
2. P(A) = 1 - P(¬A) = 1 - 0,87 = 0,13 (Петров пришел).
Теперь воспользуемся формулой для нахождения P(A ∩ ¬B):
P(A ∩ ¬B) = P(A) - P(A ∩ B) = 0,13 - 0,1 = 0,03.
Теперь можем найти P(¬B):
P(B) = 1 - P(¬B).
Из всего этого у нас есть следующее равенство:
P(¬A ∩ B) + P(A ∩ ¬B) + P(¬A ∩ ¬B) = 0,9,
где P(¬A ∩ B) = P(¬B) * P(¬A),
P(A ∩ ¬B) = P(A) * P(¬B), и P(¬A ∩ ¬B) = P(¬B) * P(¬A) = 0,8.
Теперь подставим известные значения. Обозначим P(¬B) как x:
x * P(¬A) + P(A) * x + 0,8 = 0,9.
Подставим P(¬A) и P(A):
x * 0,87 + 0,13 * x + 0,8 = 0,9.
Объединим подобные:
x * (0,87 + 0,13) + 0,8 = 0,9,
x * 1 + 0,8 = 0,9.
Теперь решим уравнение:
x + 0,8 = 0,9,
x = 0,9 - 0,8,
x = 0,1.
Итак, вероятность того, что Васечкин прогулял лекции:
P(¬B) = 0,1.
Теперь переведем это значение в проценты:
Процент прогула Васечкина = 0,1 * 100% = 10%.
Ответ:
Васечкин прогулял 10% лекций.