Каким должен быть внешний радиус R изгиба световода из прозрачного вещества с показателем преломления 2,6, чтобы при диаметре световода d = 2 мм (рис. 231) свет, вошедший в световод перпендикулярно плоскости его поперечного сечения, распространялся, не выходя через боковую поверхность наружу?
от

1 Ответ

дано:  
Показатель преломления световода (n_waveguide) = 2,6.  
Диаметр световода (d) = 2 мм = 0,002 м.  
Радиус световода (r) = d / 2 = 0,001 м.

найти:  
Внешний радиус изгиба световода (R).

решение:  
Для того чтобы свет, входящий в световод перпендикулярно плоскости его поперечного сечения, распространялся внутри световода и не выходил через боковую поверхность, необходимо, чтобы угол падения на границе раздела между световодом и воздухом был меньше предельного угла полного внутреннего отражения (θ_critical).

Сначала найдем этот угол с помощью формулы:

sin(θ_critical) = n_air / n_waveguide.

Показатель преломления воздуха (n_air) ≈ 1, тогда:

sin(θ_critical) = 1 / 2,6.

Теперь вычислим значение sin(θ_critical):

sin(θ_critical) ≈ 0,3846.

Теперь найдем θ_critical:

θ_critical = arcsin(0,3846) ≈ 22,5°.

Теперь используем геометрические соотношения для определения внешнего радиуса R. При изгибе световода световой луч будет следовать по окружности радиусом R с центром в точке, находящейся на расстоянии R от центра изгиба.

На основании тригонометрических отношений, для малых углов:

tan(θ_critical) ≈ r / (R - r).

Теперь подставим значения и выразим R:

tan(22,5°) = 0,001 / (R - 0,001).

Значение tan(22,5°) примерно равно 0,4142. Подставим это значение:

0,4142 = 0,001 / (R - 0,001).

Теперь решим уравнение для R:

R - 0,001 = 0,001 / 0,4142.

Умножим обе стороны на 0,4142:

R - 0,001 ≈ 0,002414.

Теперь добавим 0,001 к обеим сторонам:

R ≈ 0,002414 + 0,001 ≈ 0,003414 м.

Ответ:  
Внешний радиус изгиба световода должен составлять примерно 0,003414 м или 3,414 мм.
от