Дано:
- длина тоннеля L = 1000 км = 1000 * 10^3 м
- радиус Земли R = 6400 км = 6400 * 10^3 м
- плотность Земли ρ = постоянная (необходима для нахождения массы Земли)
Найти:
- максимальную скорость вагона v_max
Решение:
1. Найдем массу Земли M:
M = ρ * V, где V = (4/3) * π * R^3
2. Поскольку плотность Земли ρ постоянная, нам не нужны её точные значения для расчета. Будем использовать коэффициенты и обозначим их через ρ_0.
V = (4/3) * π * (6400 * 10^3)^3
M = ρ_0 * V = ρ_0 * (4/3) * π * (6400 * 10^3)^3
3. Сила тяжести, действующая на вагон, когда он находится на глубине d = L/2 (половина длины тоннеля):
F = G * (m * M_eff) / r^2
где G - гравитационная постоянная (приблизительно 6.674 * 10^-11 Н*(м/кг)^2), m - масса вагона, M_eff - эквивалентная масса Земли на глубине d, r - расстояние от центра Земли до вагона.
На глубине d = L/2, эквивалентная масса M_eff находится по формуле:
M_eff = M * (1 - (d/R))
4. Таким образом, эквивалентная масса на глубине L/2:
M_eff = M * (1 - (L/2R))
5. Подставим M_eff в формулу силы тяжести:
F = G * (m * M * (1 - (L/(2R)))) / (R - L/2)^2
6. На максимальной скорости вагон будет двигаться в тоннеле с ускорением g_eff, которое уменьшается с глубиной.
7. Поскольку вагон движется в свободном падении, максимальная скорость будет достигнута в центре Земли. Для нахождения этой скорости можно использовать закон сохранения механической энергии:
E_kinetic = E_potential
m * v_max^2 / 2 = m * g_eff * L
v_max = sqrt(2 * g_eff * L)
где g_eff = G * M / R^2
8. Подставим значения:
g_eff = (6.674 * 10^-11 Н*(м/кг)^2) * (M) / (6400 * 10^3)^2
Теперь у нас есть значения g_eff и L, можем подставить в формулу для v_max:
v_max = sqrt(2 * g_eff * L)
9. Подсчитаем g_eff и v_max:
Сначала найдем M:
M = ρ_0 * (4/3) * π * (6400 * 10^3)^3
Затем подставим в g_eff:
g_eff = (6.674 * 10^-11) * (ρ_0 * (4/3) * π * (6400 * 10^3)^3) / (6400 * 10^3)^2
10. После подстановки и упрощения:
g_eff ≈ 9.81 м/с^2 (для приближения)
Теперь подставим в v_max:
L = 1000 * 10^3 м
v_max = sqrt(2 * 9.81 * 1000 * 10^3)
v_max ≈ sqrt(19620 * 10^3)
v_max ≈ sqrt(19620000) ≈ 4427.15 м/с
Ответ:
Максимальная скорость вагона v_max ≈ 4427 м/с.