Для решения задачи о движении поезда по тоннелю, проходящему через Землю, воспользуемся следующими данными и физическими закономерностями.
Дано:
- Радиус Земли R = 6400 км = 6400 * 10^3 м
- Плотность Земли ρ (предполагаем, что плотность равномерная) = 5500 кг/м³ (приблизительное значение)
Найти:
- Время движения поезда с выключенным двигателем по тоннелю.
Решение:
1. Определим массу Земли (M):
Масса Земли вычисляется по формуле:
M = V * ρ,
где V - объем Земли. Объем сферы определяется по формуле:
V = (4/3) * π * R^3.
Подставим значения:
V = (4/3) * π * (6400 * 10^3)³.
Сначала вычислим R^3:
R^3 = (6400 * 10^3)³ = 2.62144 * 10^20 м³.
Теперь подставим в формулу для объема:
V = (4/3) * π * 2.62144 * 10^20 ≈ 1.101 * 10^21 м³ (считаем π ≈ 3.14).
Теперь найдем массу Земли:
M = V * ρ = 1.101 * 10^21 м³ * 5500 кг/м³ ≈ 6.0555 * 10^24 кг.
2. Определим гравитационное ускорение (g) на поверхности Земли:
g = G * M / R^2,
где G - гравитационная постоянная, G ≈ 6.674 * 10^-11 Н·м²/кг².
Подставим значения:
g = (6.674 * 10^-11) * (6.0555 * 10^24) / (6400 * 10^3)².
Сначала вычислим R^2:
R^2 = (6400 * 10^3)² = 4.096 * 10^13 м².
Теперь подставим в формулу для g:
g = (6.674 * 10^-11) * (6.0555 * 10^24) / (4.096 * 10^13) ≈ 9.81 м/с².
3. Определим период колебаний поезда в тоннеле:
Движение поезда по тоннелю можно рассматривать как простое гармоническое движение. Период колебаний T определяется по формуле:
T = 2π * sqrt(R/g).
Подставим значения:
T = 2π * sqrt(6400 * 10^3 / 9.81).
Сначала найдем sqrt(6400 * 10^3 / 9.81):
sqrt(6400 * 10^3 / 9.81) ≈ sqrt(65183.5) ≈ 255.29 с.
Теперь подставим это значение в формулу для T:
T = 2 * 3.14 * 255.29 ≈ 1602.76 с.
4. Определим время прохождения через тоннель:
Поскольку поезд движется по гармоническому осциллятору, он проходит от одного конца тоннеля до другого за четверть периода:
t = T/4.
Подставим значения:
t = 1602.76 / 4 ≈ 400.69 с.
Ответ:
Время движения поезда с выключенным двигателем по тоннелю составляет примерно 400.69 секунд.