Дано:
Масса тела M = 10 кг
Масса пули m = 10 г = 0,01 кг
Скорость пули v = 500 м/с
Амплитуда колебаний A = 10 см = 0,1 м
Найти:
Период колебаний тела T.
Решение:
1. Применяем закон сохранения импульса для нахождения скорости системы после столкновения. Импульс до столкновения равен импульсу после столкновения:
M * 0 + m * v = (M + m) * V,
где V - скорость тела с застрявшей пулей после столкновения.
Подставим известные значения:
0 + 0,01 * 500 = (10 + 0,01) * V.
2. Расчитаем:
5 = 10,01 * V.
3. Найдем V:
V = 5 / 10,01 ≈ 0,4995 м/с.
4. Теперь найдем жесткость пружины k. Используем формулу для периода колебаний маятника:
T = 2 * π * sqrt(M' / k),
где M' = M + m = 10 + 0,01 = 10,01 кг.
5. Формула для жесткости пружины через максимальную скорость и амплитуду:
Vmax = A * ω,
где ω - угловая частота, ω = 2 * π / T.
6. Угловая частота ω связана с жесткостью пружины и массой следующим образом:
ω = sqrt(k / M').
7. Подставим выражение для ω в формулу для максимальной скорости:
Vmax = A * sqrt(k / M').
8. Установим равенство для k:
k = (Vmax / A)^2 * M'.
9. Подставим известные значения:
k = (0,4995 / 0,1)^2 * 10,01.
10. Рассчитаем k:
k = (4,995)^2 * 10,01 ≈ 249.5 * 10,01 ≈ 2497,5 Н/м.
11. Теперь подставим значение k в формулу для периода:
T = 2 * π * sqrt(M' / k).
12. Подставим значения:
T = 2 * π * sqrt(10,01 / 2497,5).
13. Рассчитаем:
T ≈ 2 * 3,14 * sqrt(0,00401) ≈ 2 * 3,14 * 0,0634 ≈ 0,398 с.
Ответ: период колебаний тела составляет приблизительно 0,398 секунды.