Дано:
угол падения α = 45°
потеря кинетической энергии при ударе = 1/3
Найти:
угол отражения β.
Решение:
1. Обозначим начальную кинетическую энергию шарика как E0 и конечную кинетическую энергию после удара как E.
Поскольку теряется третья часть энергии, мы имеем:
E = E0 - (1/3)E0 = (2/3)E0.
2. Кинетическая энергия определяется как:
E = (1/2)mv^2,
где m - масса шарика, v - его скорость.
3. Так как потеря энергии происходит в процессе удара, можно записать:
(1/2)m(v')^2 = (2/3)(1/2)mv^2,
где v' - скорость шарика после удара.
4. Упрощая уравнение, получаем:
(v')^2 = (2/3)v^2.
5. Из этого следует, что:
v' = sqrt(2/3)*v.
6. Разделим скорость на компоненты. При угле падения α = 45° скорость имеет равные компоненты:
vx = v * cos(α) = v * cos(45°) = v * (sqrt(2)/2),
vy = v * sin(α) = v * sin(45°) = v * (sqrt(2)/2).
7. После удара вертикальная компонента скорости изменится, так как шар теряет часть своей энергии. Для вертикальной компоненты:
vy' = -sqrt(2/3) * (v * (sqrt(2)/2)) = -v * (sqrt(2)/2) * sqrt(2/3) = -v * sqrt(1/3).
8. Горизонтальная компонента скорости vx останется неизменной:
vx' = v * (sqrt(2)/2).
9. Угол отражения β можно найти через соотношение:
tan(β) = |vy'| / vx'.
10. Подставляем значения:
tan(β) = (v * sqrt(1/3)) / (v * (sqrt(2)/2)) = sqrt(1/3) / (sqrt(2)/2) = (2 * sqrt(1/3)) / sqrt(2).
11. Применяем тригонометрические преобразования:
tan(β) = (2 * sqrt(1/3)) / sqrt(2) = (2/sqrt(2)) * (sqrt(1/3)),
tan(β) = sqrt(2/3).
12. Находим угол β:
β = arctan(sqrt(2/3)).
Ответ: угол отражения β составляет арктангенс(sqrt(2/3)).