Question

Составной стержень представляет собой два цилиндра разной длины и одинакового сечения, прижатые друг к другу торцами. Цилиндры изготовлены из материалов с плотностями p1 = р и р2 = 2р. Оказалось, что стержень будет находиться в равновесии в горизонтальном положении, если его подвесить на нити, закрепленной на месте стыка. Определите отношение масс цилиндров.

Answer 1

Дано:
- Плотность первого цилиндра p1 = p.
- Плотность второго цилиндра p2 = 2p.
- Обозначим длины цилиндров: L1 - длина первого цилиндра, L2 - длина второго цилиндра.

Найти: отношение масс цилиндров m1/m2.

Решение:

1. Выразим массы цилиндров через их плотности и объемы. Масса цилиндра вычисляется по формуле:

m = p * V,

где V - объем цилиндра.

2. Объем цилиндра можно записать как:

V = S * L,

где S - площадь поперечного сечения, L - длина цилиндра.

3. Для первого цилиндра с плотностью p1:

m1 = p1 * V1 = p * (S * L1) = p * S * L1.

4. Для второго цилиндра с плотностью p2:

m2 = p2 * V2 = 2p * (S * L2) = 2p * S * L2.

5. Теперь найдем отношение масс цилиндров:

m1/m2 = (p * S * L1) / (2p * S * L2).

6. Упростим это выражение. Сократим p и S:

m1/m2 = L1 / (2 * L2).

7. Исходя из условия задачи о равновесии, момент сил относительно точки подвеса должен быть равен нулю. Моменты от масс должны уравновешивать друг друга:

m1 * (L2/2) = m2 * (L1/2).

8. Подставим выражения для масс в уравнение:

(p * S * L1) * (L2/2) = (2p * S * L2) * (L1/2).

9. Сократим p и S, и упростим уравнение:

L1 * L2 / 2 = 2 * L2 * L1 / 2.

10. Получаем:

L1 * L2 = 2 * L2 * L1 => L1 = 2 * L2.

11. Подставляем найденное значение L1 в отношение масс:

m1/m2 = L1 / (2 * L2) = (2 * L2) / (2 * L2) = 1.

Ответ: Отношение масс цилиндров равно 1.