а)
Дано: каждый внутренний угол выпуклого n-угольника не меньше 151° и не больше 153°.
Найти: число n.
Решение:
1. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле:
S = (n - 2) * 180°.
2. Если каждый угол находится в пределах от 151° до 153°, то для n углов сумма будет:
151n ≤ S ≤ 153n.
3. Подставим выражение для суммы углов:
151n ≤ (n - 2) * 180 ≤ 153n.
4. Рассмотрим левую часть неравенства:
151n ≤ (n - 2) * 180,
151n ≤ 180n - 360,
360 ≤ 180n - 151n,
360 ≤ 29n,
n ≥ 12.41.
5. Поскольку n - это целое число, то n ≥ 13.
6. Теперь рассмотрим правую часть:
(n - 2) * 180 ≤ 153n,
180n - 360 ≤ 153n,
-360 ≤ 153n - 180n,
-360 ≤ -27n,
n ≤ 13.33.
7. Таким образом, n не может превышать 13.
8. Значит, n = 13.
Ответ: n = 13.
б)
Дано: каждый внутренний угол выпуклого n-угольника не меньше 163° и не больше 164°.
Найти: число n.
Решение:
1. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле:
S = (n - 2) * 180°.
2. Если каждый угол находится в пределах от 163° до 164°, то для n углов сумма будет:
163n ≤ S ≤ 164n.
3. Подставим выражение для суммы углов:
163n ≤ (n - 2) * 180 ≤ 164n.
4. Рассмотрим левую часть неравенства:
163n ≤ (n - 2) * 180,
163n ≤ 180n - 360,
360 ≤ 180n - 163n,
360 ≤ 17n,
n ≥ 21.18.
5. Поскольку n - это целое число, то n ≥ 22.
6. Теперь рассмотрим правую часть:
(n - 2) * 180 ≤ 164n,
180n - 360 ≤ 164n,
-360 ≤ 164n - 180n,
-360 ≤ -16n,
n ≤ 22.5.
7. Таким образом, n не может превышать 22.
8. Значит, n = 22.
Ответ: n = 22.