Дано:
- Выпуклый n-угольник.
Найти:
1. Количество диагоналей, исходящих из каждой вершины.
2. Количество треугольников, на которые диагонали разбивают выпуклый n-угольник.
3. Доказательство свойства суммы углов выпуклого n-угольника.
Решение:
1. Количество диагоналей, исходящих из каждой вершины:
Из каждой вершины выпуклого n-угольника можно провести диагонали к (n-3) вершинам, так как она не соединяется диагоналями с двумя своими соседними вершинами и с самой собой. Это число получается так: из n-угольника 2 вершины (соседние) и одна (сама) исключаются.
2. Количество треугольников, на которые диагонали разбивают выпуклый n-угольник:
Каждую диагональ, соединяющую две не соседние вершины, разбивает n-угольник на 2 треугольника. В результате, диагонали разбивают n-угольник на (n-2) треугольника. Это можно получить, используя формулу разбиения n-угольника диагоналями: n-2.
3. Доказательство свойства суммы углов выпуклого n-угольника:
Сумма углов выпуклого многоугольника равна (n-2) умножить на 180 градусов. Рассмотрим разбиение n-угольника на (n-2) треугольников. Каждый треугольник имеет сумму углов 180 градусов, а количество треугольников в разбиении равно (n-2).
Итак, сумма углов всех треугольников будет равна (n-2) умножить на 180 градусов. Поскольку диагонали разбивают многоугольник на (n-2) треугольников, сумма углов этих треугольников равна общей сумме углов исходного n-угольника. Следовательно, сумма углов выпуклого n-угольника равна (n-2) умножить на 180 градусов.
Ответ:
1. Из каждой вершины исходит (n-3) диагонали.
2. Диагонали разбивают выпуклый n-угольник на (n-2) треугольников.
3. Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n-2) умножить на 180 градусов.