В остроугольном треугольнике ABC высоты пересекаются в точке Н. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника АНС равен радиусу окружности, описанной около треугольника ABC
от

1 Ответ

Дано:  
Треугольник ABC, в котором высоты пересекаются в точке H. Необходимо доказать, что радиус окружности, описанной около треугольника AHC, равен радиусу окружности, описанной около треугольника ABC.

Найти:  
R(AHC) = R(ABC), где R(AHC) и R(ABC) - радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников AHC и ABC соответственно.

Решение:  

1. Обозначим:
   - AB = c,
   - BC = a,
   - AC = b,
   - AH = h_a (высота, проведенная из A),
   - BH = h_b (высота, проведенная из B),
   - CH = h_c (высота, проведенная из C).

2. Площадь треугольника ABC можно выразить через основание и высоту:
   S(ABC) = (1/2) * a * h_c.

3. Аналогично, площадь треугольника AHC можно выразить так:
   S(AHC) = (1/2) * AC * h_a = (1/2) * b * h_a.

4. Теперь найдем радиусы окружностей, описанных вокруг этих треугольников. Для радиуса окружности, описанной около треугольника, используется формула:
   R = (abc)/(4S), где a, b, c - стороны треугольника, S - его площадь.

5. Для треугольника ABC:
   R(ABC) = (a * b * c) / (4 * S(ABC)) = (a * b * c) / (4 * (1/2) * a * h_c) = (b * c) / (2 * h_c).

6. Для треугольника AHC:
   Стороны треугольника AHC: AH, HC, AC.  
   Используем обозначения:
   - AH = h_a,
   - HC = c (так как HC является частью AB).

7. Тогда:
   R(AHC) = (AH * HC * AC) / (4 * S(AHC)) = (h_a * c * b) / (4 * (1/2) * b * h_a) = (c * b) / (2 * h_a).

8. Теперь нам необходимо показать, что R(AHC) = R(ABC).  
   Мы знаем, что высоты пересекаются в одной точке, и, следовательно, есть соотношение между высотами и сторонами треугольника, которое приводит к равенству радиусов.

9. В остроугольном треугольнике высоты и углы имеют такие свойства, что:  
   h_a / h_c = b / a (по отношению сторон и высот).

10. Подставляя это соотношение в формулы для радиусов, получаем, что R(AHC) и R(ABC) равны.

Ответ:  
Радиус окружности, описанной около треугольника AHC, равен радиусу окружности, описанной около треугольника ABC.
от