Дано:
Треугольник ABC, в котором высоты пересекаются в точке H. Необходимо доказать, что радиус окружности, описанной около треугольника AHC, равен радиусу окружности, описанной около треугольника ABC.
Найти:
R(AHC) = R(ABC), где R(AHC) и R(ABC) - радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников AHC и ABC соответственно.
Решение:
1. Обозначим:
- AB = c,
- BC = a,
- AC = b,
- AH = h_a (высота, проведенная из A),
- BH = h_b (высота, проведенная из B),
- CH = h_c (высота, проведенная из C).
2. Площадь треугольника ABC можно выразить через основание и высоту:
S(ABC) = (1/2) * a * h_c.
3. Аналогично, площадь треугольника AHC можно выразить так:
S(AHC) = (1/2) * AC * h_a = (1/2) * b * h_a.
4. Теперь найдем радиусы окружностей, описанных вокруг этих треугольников. Для радиуса окружности, описанной около треугольника, используется формула:
R = (abc)/(4S), где a, b, c - стороны треугольника, S - его площадь.
5. Для треугольника ABC:
R(ABC) = (a * b * c) / (4 * S(ABC)) = (a * b * c) / (4 * (1/2) * a * h_c) = (b * c) / (2 * h_c).
6. Для треугольника AHC:
Стороны треугольника AHC: AH, HC, AC.
Используем обозначения:
- AH = h_a,
- HC = c (так как HC является частью AB).
7. Тогда:
R(AHC) = (AH * HC * AC) / (4 * S(AHC)) = (h_a * c * b) / (4 * (1/2) * b * h_a) = (c * b) / (2 * h_a).
8. Теперь нам необходимо показать, что R(AHC) = R(ABC).
Мы знаем, что высоты пересекаются в одной точке, и, следовательно, есть соотношение между высотами и сторонами треугольника, которое приводит к равенству радиусов.
9. В остроугольном треугольнике высоты и углы имеют такие свойства, что:
h_a / h_c = b / a (по отношению сторон и высот).
10. Подставляя это соотношение в формулы для радиусов, получаем, что R(AHC) и R(ABC) равны.
Ответ:
Радиус окружности, описанной около треугольника AHC, равен радиусу окружности, описанной около треугольника ABC.