Дано:
1. Остроугольный треугольник ABC.
2. Высоты треугольника пересекаются в точке H.
Найти:
Докажите, что окружность, проходящая через точки A, C и H, равна окружности, описанной около треугольника ABC.
Решение:
1. Пусть O - центр описанной окружности треугольника ABC, и R - её радиус.
2. В остроугольном треугольнике ABC, ортоцентр H лежит на окружности, проходящей через точки A, C и H, если H и другие две вершины лежат на одной окружности.
3. Используем теорему о том, что в остроугольном треугольнике ABC, окружность, проходящая через ортоцентр и две вершины, совпадает с окружностью, описанной вокруг треугольника.
4. Поскольку треугольник ABC остроугольный, точка H (ортоцентр) лежит на окружности, проходящей через A и C, и этот факт может быть подтвержден тем, что угол ∠AHC равен углу ∠ABC (по свойству высот и их пересечения).
5. Таким образом, окружность, проходящая через A, C и H, будет совпадать с окружностью, описанной вокруг треугольника ABC, так как её радиус равен R.
Ответ:
Окружность, проходящая через точки A, C и H, равна окружности, описанной около треугольника ABC.