Дано:
синусы углов треугольника A, B, C равны 3/5, 5/12 и 56/65 соответственно.
Периметр треугольника P = 1465.
Найти: стороны треугольника a, b, c.
Решение:
Сначала найдем косинусы углов с помощью теоремы Пифагора:
1. Для угла A:
sin A = 3/5
cos A = sqrt(1 - (3/5)^2) = sqrt(1 - 9/25) = sqrt(16/25) = 4/5.
2. Для угла B:
sin B = 5/12
cos B = sqrt(1 - (5/12)^2) = sqrt(1 - 25/144) = sqrt(119/144) = sqrt(119)/12.
3. Для угла C:
sin C = 56/65
cos C = sqrt(1 - (56/65)^2) = sqrt(1 - 3136/4225) = sqrt(1089/4225) = 33/65.
Теперь найдем отношение сторон треугольника по формуле синусов:
a/sin A = b/sin B = c/sin C = k, где k - некая константа.
Таким образом, можно выразить стороны через k:
a = k * (3/5),
b = k * (5/12),
c = k * (56/65).
Теперь найдем периметр:
P = a + b + c = k * (3/5 + 5/12 + 56/65).
Для удобства найдем общий знаменатель для дробей:
Общий знаменатель для 5, 12 и 65 равен 780.
Преобразуем каждую дробь:
3/5 = 468/780,
5/12 = 325/780,
56/65 = 672/780.
Сложим дроби:
P = k * (468/780 + 325/780 + 672/780) = k * (1465/780).
Теперь приравняем к периметру:
k * (1465/780) = 1465.
Чтобы найти k, делим обе стороны на 1465:
k = 780.
Теперь подставим k для нахождения сторон:
a = 780 * (3/5) = 468,
b = 780 * (5/12) = 325,
c = 780 * (56/65) = 672.
Ответ: стороны треугольника a = 468, b = 325, c = 672.