Точка М — середина стороны ВС четырёхугольника ABCD. Докажите, что АВ || CD, если площадь треугольника MAD равна половине площади четырёхугольника ABCD.
от

1 Ответ

Дано:  
Четырехугольник ABCD, точка M — середина стороны BC. Площадь треугольника MAD равна половине площади четырехугольника ABCD: S(MAD) = 0.5 * S(ABCD).

Найти:  
Докажите, что AB || CD.

Решение:  
1. Обозначим площадь четырехугольника ABCD как S. Тогда по условию имеем:  
S(MAD) = 0.5 * S.

2. Площадь четырехугольника ABCD можно выразить через площади треугольников MAD, MBC и MCD:  
S = S(MAD) + S(MBC) + S(MCD).

3. Подставим известное значение площади треугольника MAD:  
S = 0.5 * S + S(MBC) + S(MCD).

4. Перепишем уравнение:  
S - 0.5 * S = S(MBC) + S(MCD)  
0.5 * S = S(MBC) + S(MCD).

5. Это означает, что площади треугольников MBC и MCD равны:  
S(MBC) = S(MCD).

6. Если площади треугольников MBC и MCD равны, это значит, что высоты этих треугольников, опущенные из точки M на стороны AB и CD, также равны.

7. Так как M — середина стороны BC, и высоты из точки M на стороны AB и CD равны, это указывает на то, что углы при основании этих высот равны, а значит, линии AB и CD параллельны:  
AB || CD.

Ответ:  
AB || CD.
от