В треугольнике ABC даны три стороны: АВ = 26, ВС = 30 и АС = 28. Найдите площадь части этого треугольника, заключённой между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины В.
от

1 Ответ

Дано:  
Стороны треугольника: AB = 26 м, BC = 30 м, AC = 28 м.  

Найти:  
Площадь части треугольника, заключенной между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины B.  

Решение:  
1. Найдем полупериметр p треугольника:  
p = (AB + BC + AC) / 2  
p = (26 + 30 + 28) / 2  
p = 84 / 2  
p = 42 м.  

2. Найдем площадь S треугольника с помощью формулы Герона:  
S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC))  
S = √(42 * (42 - 26) * (42 - 30) * (42 - 28))  
S = √(42 * 16 * 12 * 14)  

Теперь рассчитаем:  
S = √(42 * 16 * 12 * 14)  
42 * 16 = 672  
672 * 12 = 8064  
8064 * 14 = 112896  
S = √(112896)  
S ≈ 336 м².  

3. Найдем длину высоты h из вершины B:  
h = (2 * S) / AC  
h = (2 * 336) / 28  
h = 672 / 28  
h = 24 м.  

4. Найдем длину биссектрисы l из вершины B:  
l = (2 * AB * BC) / (AB + BC) * cos(A/2)  
Сначала найдем угол A с помощью косинусного закона:  
cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc)  
где a = AC, b = BC, c = AB.  
cos(A) = (30² + 28² - 26²) / (2 * 30 * 28)  
cos(A) = (900 + 784 - 676) / (1680)  
cos(A) = 1008 / 1680  
cos(A) = 3/5.  

Теперь найдем A/2:  
cos(A/2) = √((1 + cos(A)) / 2)  
cos(A/2) = √((1 + 3/5) / 2)  
cos(A/2) = √(8/10)  
cos(A/2) = √(4/5) = (2/√5).  

Теперь подставим в формулу для длины биссектрисы:  
l = (2 * 26 * 30) / (26 + 30) * (2 / √5)  
l = (1560 / 56) * (2 / √5)  
l = 27.857 * (2 / √5)  
l ≈ 24.979.  

5. Площадь треугольника между высотой и биссектрисой:  
Площадь = 0.5 * h * l  
Площадь = 0.5 * 24 * 24.979  
Площадь ≈ 299.75 м².  

Ответ:  
Площадь части треугольника, заключенной между высотой и биссектрисой из вершины B, составляет примерно 299.75 м².
от