Дано:
Стороны треугольника: AB = 26 м, BC = 30 м, AC = 28 м.
Найти:
Площадь части треугольника, заключенной между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины B.
Решение:
1. Найдем полупериметр p треугольника:
p = (AB + BC + AC) / 2
p = (26 + 30 + 28) / 2
p = 84 / 2
p = 42 м.
2. Найдем площадь S треугольника с помощью формулы Герона:
S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC))
S = √(42 * (42 - 26) * (42 - 30) * (42 - 28))
S = √(42 * 16 * 12 * 14)
Теперь рассчитаем:
S = √(42 * 16 * 12 * 14)
42 * 16 = 672
672 * 12 = 8064
8064 * 14 = 112896
S = √(112896)
S ≈ 336 м².
3. Найдем длину высоты h из вершины B:
h = (2 * S) / AC
h = (2 * 336) / 28
h = 672 / 28
h = 24 м.
4. Найдем длину биссектрисы l из вершины B:
l = (2 * AB * BC) / (AB + BC) * cos(A/2)
Сначала найдем угол A с помощью косинусного закона:
cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc)
где a = AC, b = BC, c = AB.
cos(A) = (30² + 28² - 26²) / (2 * 30 * 28)
cos(A) = (900 + 784 - 676) / (1680)
cos(A) = 1008 / 1680
cos(A) = 3/5.
Теперь найдем A/2:
cos(A/2) = √((1 + cos(A)) / 2)
cos(A/2) = √((1 + 3/5) / 2)
cos(A/2) = √(8/10)
cos(A/2) = √(4/5) = (2/√5).
Теперь подставим в формулу для длины биссектрисы:
l = (2 * 26 * 30) / (26 + 30) * (2 / √5)
l = (1560 / 56) * (2 / √5)
l = 27.857 * (2 / √5)
l ≈ 24.979.
5. Площадь треугольника между высотой и биссектрисой:
Площадь = 0.5 * h * l
Площадь = 0.5 * 24 * 24.979
Площадь ≈ 299.75 м².
Ответ:
Площадь части треугольника, заключенной между высотой и биссектрисой из вершины B, составляет примерно 299.75 м².