дано:
- сторона BC = 26 см,
- сторона AC = 28 см,
- сторона AB = 30 см.
найти:
- площадь части треугольника, заключенной между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины B.
решение:
1. Сначала найдем площадь треугольника ABC, используя формулу Герона.
2. Найдем полупериметр s:
s = (AB + AC + BC) / 2 = (30 + 28 + 26) / 2 = 42 см.
3. Теперь вычислим площадь S треугольника:
S = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)),
где a = BC, b = AC, c = AB.
4. Подставим значения:
S = √(42 * (42 - 26) * (42 - 28) * (42 - 30)),
S = √(42 * 16 * 14 * 12).
5. Упростим:
S = √(42 * 2688) = √(112896) = 336 см².
6. Теперь найдем высоту h из вершины B к стороне AC. Площадь также можно выразить через основание и высоту:
S = (1/2) * AC * h.
7. Подставим известные значения:
336 = (1/2) * 28 * h,
336 = 14h,
h = 336 / 14 = 24 см.
8. Теперь найдем длину биссектрисы, проведенной из вершины B. Формула для длины биссектрисы:
l_b = (2ac) / (a + c) * cos(B/2),
где a = AC, c = BC, и B — угол между сторонами AB и AC.
9. Для нахождения угла B воспользуемся косинусом:
cos(B) = (a² + c² - b²) / (2ac),
где a = AC, b = AB, c = BC.
10. Подставим значения:
cos(B) = (28² + 26² - 30²) / (2 * 28 * 26),
cos(B) = (784 + 676 - 900) / (1456),
cos(B) = 560 / 1456 = 35 / 91.
11. Теперь найдем угол B/2:
cos(B/2) = √((1 + cos(B)) / 2) = √((1 + 35/91) / 2) = √(126/182) = √(63/91).
12. Теперь найдем длину биссектрисы:
l_b = (2 * 28 * 26) / (28 + 26) * √(63/91),
l_b = (1456 / 54) * √(63/91).
13. Теперь мы можем найти площадь части треугольника, заключенной между высотой и биссектрисой. Площадь треугольника, образованного высотой и биссектрисой, можно найти по формуле:
S_part = (1/2) * h * l_b.
14. Подставим найденные значения:
S_part = (1/2) * 24 * (1456 / 54) * √(63/91).
15. Упростим:
S_part = 12 * (1456 / 54) * √(63/91).
16. Приблизительное значение можно вычислить:
S_part ≈ 12 * 26.96 * 0.934 ≈ 362 см².
ответ:
- Площадь части треугольника, заключенной между высотой и биссектрисой, равна S_part ≈ 362 см².