дано:
- окружность с центром O и радиусом R.
найти:
геометрическое место середин всех хорд данной окружности.
решение:
1. Рассмотрим окружность с центром O и радиусом R. Обозначим точку A и B как концы хорды. Мидпоинт или середина этой хорды обозначим как M.
2. Середина хорды M можно найти, используя свойство, что расстояние от центра окружности до средней точки хорды перпендикулярно самой хорде. Поэтому, если мы проведем перпендикуляр из центра O к хорде AB, он пересечет хорду в ее середине M.
3. Обозначим расстояние от центра O до середины M как d. Тогда по теореме Пифагора для треугольника OMA (где A - конец хорды):
OM^2 + AM^2 = OA^2,
где OA = R (радиус), AM = a/2 (половина длины хорды).
4. Подставим значения:
d^2 + (a/2)^2 = R^2.
5. Мы можем выразить a через d. Из этого уравнения следует, что:
(a/2)^2 = R^2 - d^2.
Следовательно,
a = 2 * sqrt(R^2 - d^2).
6. Это уравнение показывает, что для каждой фиксированной длины хорды a существует определенное значение d, которое соответствует ей, при этом d не может превышать R.
7. Таким образом, середины всех хорд располагаются на круге радиуса R, который образован вокруг точки O с учетом того, что d изменяется от 0 до R.
ответ:
Геометрическое место середин всех хорд данной окружности является окружностью радиуса R, вписанной в данную окружность.