Дано: Окружность с центром O и радиусом R. Через произвольную точку P внутри окружности проведены хорды, пересекающие окружность в точках A и B.
Найти: Геометрическое место середин хордов, проведенных через точку P.
Решение:
1. Определение координат середин хорды:
Пусть хордa AB пересекает окружность в точках A и B. Средняя точка хорды M имеет координаты, определяемые как среднее арифметическое координат точек A и B. Если P - точка внутри окружности, то хорда AB проходит через P.
2. Вычисление расстояний и координат:
В прямоугольной системе координат окружности с центром O(0,0) и радиусом R, где P(px, py) - произвольная точка внутри окружности, можно записать уравнение хорды AB, проходящей через P.
Уравнение хорды через точку P(px, py) и точку на окружности (x1, y1) задается уравнением прямой:
(x - px)(x1 - px) + (y - py)(y1 - py) = 0.
3. Определение геометрического места середин:
В общем случае, для любой хорды, проходящей через точку P, середина этой хорды будет лежать на окружности, центр которой совпадает с центром окружности O, а радиус равен расстоянию от O до точки P.
Это связано с тем, что все середины хорды будут располагаться на окружности с центром в точке O и радиусом, равным расстоянию от O до P.
4. Доказательство:
Пусть M - середина хорды AB. Тогда можно показать, что M находится на окружности с радиусом OP. Рассмотрим треугольники OAP и OBP. Треугольники OA M и OB M равны, так как они имеют равные стороны OM и AM, а также AM и BM являются равными (так как M - середина).
Таким образом, M будет лежать на окружности с центром в точке O и радиусом OP.
Ответ: Геометрическое место середин хордов, проведенных через произвольную точку P внутри окружности, является окружностью с центром в точке O и радиусом, равным расстоянию от точки O до точки P.