Найдите отношение радиусов двух окружностей, касающихся друг друга, если каждая из них касается сторон угла, равного а.
от

1 Ответ

дано:  
- угол α.

найти:  
отношение радиусов двух окружностей r1 и r2, касающихся друг друга и сторон угла.

решение:  
1. Используем формулу для определения отношения радиусов двух окружностей, вписанных в угол. Это отношение дается как:  
r1 / r2 = sin(α / 2) / sin(β / 2),  

где β - смежный угол, который равен 180° - α.  

2. Заменим угол β на его выражение:  
r1 / r2 = sin(α / 2) / sin((180° - α) / 2).

3. Упрощаем выражение для sin(180° - x):  
sin(180° - x) = sin(x). Таким образом:  
sin((180° - α) / 2) = sin(90° - α / 2) = cos(α / 2).

4. Теперь подставляем полученные значения в выражение для отношения радиусов:  
r1 / r2 = sin(α / 2) / cos(α / 2).

5. Это можно упростить с помощью тригонометрической функции тангенса:  
r1 / r2 = tan(α / 2).

ответ:  
Отношение радиусов двух окружностей, касающихся друг друга и сторон угла, равно tan(α / 2).
от