дано:
- угол α.
найти:
отношение радиусов двух окружностей r1 и r2, касающихся друг друга и сторон угла.
решение:
1. Используем формулу для определения отношения радиусов двух окружностей, вписанных в угол. Это отношение дается как:
r1 / r2 = sin(α / 2) / sin(β / 2),
где β - смежный угол, который равен 180° - α.
2. Заменим угол β на его выражение:
r1 / r2 = sin(α / 2) / sin((180° - α) / 2).
3. Упрощаем выражение для sin(180° - x):
sin(180° - x) = sin(x). Таким образом:
sin((180° - α) / 2) = sin(90° - α / 2) = cos(α / 2).
4. Теперь подставляем полученные значения в выражение для отношения радиусов:
r1 / r2 = sin(α / 2) / cos(α / 2).
5. Это можно упростить с помощью тригонометрической функции тангенса:
r1 / r2 = tan(α / 2).
ответ:
Отношение радиусов двух окружностей, касающихся друг друга и сторон угла, равно tan(α / 2).