Дано:
Основания трапеции AB и CD равны 3 и 5 соответственно, боковые стороны BC и AD равны 1 и 2 соответственно.
Найти:
Расстояние между центрами двух окружностей, которые касаются трех сторон трапеции.
Решение:
1. Обозначим точки: A (0, 0), B (3, 0), C (x, h), D (y, h), где h - высота трапеции.
2. Поскольку AD = 2 и BC = 1, можно записать уравнения для расстояний:
Для BC: (x - 3)^2 + h^2 = 1^2
Для AD: y^2 + h^2 = 2^2
3. Из первого уравнения:
(x - 3)^2 + h^2 = 1
=> h^2 = 1 - (x - 3)^2
4. Из второго уравнения:
y^2 + h^2 = 4
=> h^2 = 4 - y^2
5. Теперь приравняем обе формулы для h^2:
1 - (x - 3)^2 = 4 - y^2
6. Упрощая это уравнение, получим:
(x - 3)^2 + y^2 = 3
7. Также учитываем, что сумма оснований равна:
x + y = 5.
8. Подставляем y из последнего уравнения:
y = 5 - x
9. Подставляем это в уравнение для хорд:
(x - 3)^2 + (5 - x)^2 = 3.
10. Раскроем скобки:
(x^2 - 6x + 9) + (25 - 10x + x^2) = 3
2x^2 - 16x + 34 = 3
2x^2 - 16x + 31 = 0.
11. Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4*2*31 = 256 - 248 = 8.
12. Значит, корни:
x = (16 ± √8) / 4 = (16 ± 2√2) / 4 = 4 ± 0.5√2.
13. В этом случае, соответствующие значения y = 5 - x дадут два значения для y.
14. Центры окружностей находятся на биссектрисах углов и делят высоту h пополам.
Чтобы найти расстояние между центрами, используем теорему о расстоянии между точками в координатной плоскости.
15. Центры будут находиться по высоте, определяемой как h/2, так как они симметричны относительно центра трапеции.
16. Итак, расстояние между центрами окружностей равно |R1 - R2|, где R1 и R2 - радиусы окружностей.
Ответ:
Расстояние между центрами окружностей составляет 1.