Дано:
- Параллелограмм ABCD.
- Угол A и угол C являются противолежащими углами параллелограмма.
Найти:
Доказать, что биссектрисы углов, смежных с углом A и углом C, перпендикулярны.
Решение:
1. В параллелограмме сумма смежных углов равна 180°:
угол A + угол B = 180°
угол C + угол D = 180°.
2. Поскольку углы A и C противоположные, они равны:
угол A = угол C.
3. Обозначим угол A как α, тогда угол B = 180° - α и угол D = 180° - α.
4. Биссектрисы углов A и C делят их пополам, соответственно:
биссектрису угла A можно обозначить как AD', а биссектрису угла C как CB'.
5. Углы, образованные биссектрисами:
угол A'AD = угол A/2 = α/2,
угол C'CB = угол C/2 = α/2.
6. Теперь рассмотрим сумму углов:
угол B + угол D = (180° - α) + (180° - α) = 360° - 2α.
7. Углы, которые образуются между биссектрисами:
угол A'AC + угол C'CA = α/2 + α/2 = α.
8. Мы знаем, что сумма углов в точке пересечения биссектрис составляет 180°:
угол A'AB + угол C'CD + угол A'AC + угол C'CA = 180°.
9. Суммируя все углы, мы можем записать:
угол A'AD + угол C'CB + угол A'AC + угол C'CA = 180°.
10. Подставляя значения:
(180° - α)/2 + (180° - α)/2 + α/2 + α/2 = 180°.
11. Таким образом, получается, что сумма углов на месте пересечения биссектрис составляет 90°, следовательно, биссектрисы углов A и C перпендикулярны.
Ответ:
Биссектрисы угла, смежного с углом A параллелограмма ABCD, перпендикулярны биссектрисе угла C.