Дано:
- Параллелограмм ABCD.
- Угол A и угол C — смежные углы.
- Биссектрисы углов A и C пересекаются.
Найти:
- Доказать, что биссектрисы углов A и C перпендикулярны.
Решение:
1. Поскольку ABCD — параллелограмм, противоположные углы равны. То есть угол A = угол C и угол B = угол D.
2. Углы смежные с углом A и углом C равны:
Угол A + угол B = 180°
Угол C + угол D = 180°
Так как углы A и C противоположные и равны, то:
Угол A = угол C
Угол B = угол D
3. Рассмотрим биссектрису угла A и биссектрису угла C. Биссектрисы углов A и C будут делить углы пополам.
4. Поскольку угол A = угол C и они смежные углы, то угол A + угол C = 180°.
5. Пусть угол A = 2α и угол C = 2β. Поскольку угол A и угол C противоположные углы, то α = β. Тогда угол A = 2α и угол C = 2α.
6. Биссектрисы делят углы A и C на равные части, то есть угол между биссектрисами будет равен 180° / 2 = 90°.
7. Из этого следует, что биссектрисы углов A и C перпендикулярны.
Ответ:
Биссектрисы углов, смежных с углом параллелограмма, перпендикулярны биссектрисе его противоположного угла.