дано:
Сторона ромба a = 5. Одна диагональ длиннее другой на 1.
найти:
Диагонали ромба d1 и d2.
решение:
1. Обозначим меньшую диагональ как d1, тогда большую диагональ можно обозначить как d2 = d1 + 1.
2. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят его на четыре равных треугольника. По теореме Пифагора можно записать:
a² = (d1/2)² + (d2/2)².
3. Подставим d2 в уравнение:
a² = (d1/2)² + ((d1 + 1)/2)².
4. Теперь подставим значение a:
5² = (d1/2)² + ((d1 + 1)/2)².
5. Упростим уравнение:
25 = (d1/2)² + ((d1 + 1)/2)²,
25 = (d1²/4) + ((d1² + 2*d1 + 1)/4).
6. Объединим дроби:
25 = (d1² + d1² + 2*d1 + 1) / 4,
25 = (2*d1² + 2*d1 + 1) / 4.
7. Умножим обе стороны на 4:
100 = 2*d1² + 2*d1 + 1.
8. Переносим все в одну сторону:
2*d1² + 2*d1 + 1 - 100 = 0,
2*d1² + 2*d1 - 99 = 0.
9. Делим уравнение на 2:
d1² + d1 - 49.5 = 0.
10. Теперь используем формулу квадратного уравнения:
d1 = (-b ± sqrt(b² - 4ac)) / 2a,
где a = 1, b = 1, c = -49.5.
11. Подставим значения:
d1 = (-1 ± sqrt(1 + 198)) / 2,
d1 = (-1 ± sqrt(199)) / 2.
12. Найдем числовые значения для d1:
d1 ≈ (-1 + 14.1) / 2 ≈ 6.55,
d1 ≈ (-1 - 14.1) / 2 (это значение не имеет смысла в нашем контексте).
13. Таким образом, d1 ≈ 6.55.
14. Теперь найдем d2:
d2 = d1 + 1 ≈ 6.55 + 1 ≈ 7.55.
ответ:
Меньшая диагональ равна примерно 6.55, большая диагональ равна примерно 7.55.