Дано:
Пусть в треугольнике ABC сторона AB = 2x и сторона AC = x. Угол A между сторонами AB и AC равен 60°.
Найти:
Найти меньший из углов треугольника.
Решение:
1. Используем теорему косинусов для нахождения длины стороны BC:
BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cos(A).
2. Подставим известные значения:
BC² = (2x)² + x² - 2 * (2x) * x * cos(60°).
3. Зная, что cos(60°) = 1/2, упростим:
BC² = 4x² + x² - 2 * (2x) * x * (1/2).
BC² = 4x² + x² - 2x².
BC² = 3x².
4. Теперь BC = √(3x²) = x√3.
5. Используем теорему синусов для нахождения углов B и C:
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), где a = BC, b = AC, c = AB.
Таким образом, можем записать:
x√3 / sin(60°) = x / sin(B).
6. Подставим значение sin(60°) = √3 / 2:
x√3 / (√3 / 2) = x / sin(B).
7. Упрощая уравнение, получаем:
2 = x / sin(B).
sin(B) = x / 2.
8. Следовательно, угол B = arcsin(x / 2).
9. Поскольку x = 1 (для простоты) получаем:
sin(B) = 1 / 2, что дает угол B = 30°.
10. Для нахождения угла C используем сумму углов в треугольнике:
A + B + C = 180°.
60° + 30° + C = 180°.
C = 90°.
Ответ:
Меньший из углов треугольника равен 30°.