Дано:
- Вписанный шестиугольник A A1 B B1 C C1.
- Перпендикуляры, восстановленные в точках A, B, C к прямым A A1, B B1 и C C1, соответственно, пересекаются в одной точке O.
Найти:
Докажите, что перпендикуляры, восстановленные к тем же прямым в точках A1, B1 и C, соответственно, также пересекаются в одной точке.
Решение:
1. Обозначим перпендикуляры, восстановленные в точках A, B и C:
- OA - перпендикуляр из точки O к прямой A A1,
- OB - перпендикуляр из точки O к прямой B B1,
- OC - перпендикуляр из точки O к прямой C C1.
2. Поскольку O - точка пересечения этих перпендикуляров, то мы имеем:
- Угол AOB равен 90 градусов,
- Угол BOC равен 90 градусов,
- Угол COA равен 90 градусов.
3. Теперь рассмотрим перпендикуляры, восстановленные в точках A1, B1 и C:
- Обозначим новую точку пересечения этих перпендикуляров как O1.
- OA1 - перпендикуляр из точки O1 к прямой A A1,
- OB1 - перпендикуляр из точки O1 к прямой B B1,
- OC - перпендикуляр из точки O1 к прямой C C1.
4. Мы знаем, что перпендикуляры OA, OB, OC пересекаются в точке O. Это означает, что:
- Если провести прямые OA1, OB1, OC, они тоже будут образовывать взаимные углы 90 градусов с соответствующими прямыми.
5. По свойству параллельных прямых:
- Прямые AA1 и BB1 являются параллельными, так как это стороны вписанного шестиугольника.
- Следовательно, если O лежит на высотах, проведенных из точек A, B и C, то аналогичным образом точка O1 будет располагаться на высотах, проведенных из A1, B1 и C.
6. Таким образом, поскольку углы между перпендикулярами остаются равными, это показывает, что перпендикуляры, восстановленные от A1, B1 и C, пересекаются в одной точке O1.
Ответ:
Перпендикуляры, восстановленные к прямым A A1, B B1 и C C1 в точках A1, B1 и C соответственно, также пересекаются в одной точке.