Дано:
- Прямые a и b параллельны.
- Точка A на прямой a.
- Точка B на прямой b.
Найти:
а) Геометрическое место всех точек M, если M — середина отрезка AB.
б) Геометрическое место всех точек M, если M лежит на отрезке AB и AM : MB = 1:2.
Решение:
а) Пусть расстояние между прямыми a и b равно h. Обозначим координаты точки A как (x_A, y_A) и координаты точки B как (x_B, y_B), где y_A = 0 (на прямой a) и y_B = h (на прямой b).
Координаты точки M, которая является серединой отрезка AB, находятся по формуле:
M = ((x_A + x_B)/2, (y_A + y_B)/2).
Так как y_A = 0, y_B = h, получаем:
M = ((x_A + x_B)/2, h/2).
Таким образом, геометрическое место всех точек M будет находиться на линии, параллельной прямым a и b, на расстоянии h/2 от прямой a (или h/2 от прямой b).
б) Если M делит отрезок AB в соотношении AM : MB = 1:2, это означает, что M находится ближе к точке A. Обозначим длину отрезка AB как d.
Поскольку AM : MB = 1 : 2, можно записать:
AM = d / 3 и MB = 2d / 3.
Тогда координаты точки M будут вычисляться следующим образом:
M = A + (1/3)(B - A).
Подставляя координаты A и B, мы имеем:
M = A + (1/3)((x_B - x_A), (y_B - y_A)) = (x_A + (1/3)(x_B - x_A), 0 + (1/3)(h - 0)).
Значит,
M = (x_A + (1/3)(x_B - x_A), h/3).
Геометрическое место всех точек M будет находиться на новой линии, параллельной прямым a и b, на расстоянии h/3 от прямой a (или h/3 от прямой b).
Ответ:
а) Геометрическое место точек M — линия, параллельная прямым a и b, на расстоянии h/2 от прямой a.
б) Геометрическое место точек M — линия, параллельная прямым a и b, на расстоянии h/3 от прямой a.