На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника ABC отмечены точки D и Е так, что AD : DE : ЕА = 1:5:1. Найдите АВ, если известно, что площадь треугольника ABC равна 147, а тангенс угла DCE равен 6.
от

1 Ответ

Дано:

Площадь треугольника ABC равна 147, тангенс угла DCE равен 6. Отношение отрезков на гипотенузе: AD : DE : EA = 1 : 5 : 1.

Найти: AB.

Решение:

1. Обозначим длину гипотенузы AB как x. Тогда AD = 1/7 * x, DE = 5/7 * x, EA = 1/7 * x.

2. Площадь треугольника ABC можно выразить через высоту CH, опущенную из вершины C на гипотенузу AB:
   
   Площадь треугольника ABC = 1/2 * AB * CH.
   
   Подставим значение площади:

   147 = 1/2 * x * CH,
   CH = 294 / x.

3. Рассмотрим треугольник DCE. По определению тангенса угла DCE:

   tg(DCE) = CH / DE.

   Подставим значения:

   6 = (294 / x) / (5 / 7 * x).

   Упрощаем уравнение:

   6 = (294 / x) * (7 / 5x),
   6 = 2058 / (5x^2),
   6 * 5x^2 = 2058,
   30x^2 = 2058,
   x^2 = 2058 / 30,
   x^2 = 68.6,
   x = sqrt(68.6) ≈ 8.28.

Ответ: AB ≈ 8.28 м.
от