Дано:
Площадь треугольника ABC равна 150, тангенс угла DCE равен 3. Отношение отрезков на гипотенузе: AD : DE : EA = 1 : 3 : 1.
Найти: AB.
Решение:
1. Обозначим длину гипотенузы AB как x. Тогда AD = 1/5 * x, DE = 3/5 * x, EA = 1/5 * x.
2. Высота CH опущенная из точки C на гипотенузу AB, делит треугольник на два меньших. Площадь треугольника ABC можно выразить как:
S = 1/2 * AB * CH = 150.
Подставим AB = x:
1/2 * x * CH = 150.
Следовательно, CH = 300/x.
3. Рассмотрим треугольник DCE. По определению тангенса:
tg(DCE) = CH / DE.
Подставим значения:
3 = (300/x) / (3/5 * x).
Упрощаем уравнение:
3 = (300 * 5) / (3 * x^2).
Таким образом, получаем:
3 * 3 * x^2 = 1500,
9x^2 = 1500,
x^2 = 166.67,
x = sqrt(166.67) ≈ 12.91.
Ответ: AB ≈ 12.91 м.