Дано:
Треугольник ABC,
AB = BC,
AC = 18 м,
tg∠BAC = √40/3.
Найти:
длину стороны AB.
Решение:
Обозначим длину стороны AB как x. Так как AB = BC, также BC = x.
Используем определение тангенса угла:
tg∠BAC = противолежащая сторона / прилежащая сторона.
В данном случае противолежащей стороной является высота h из вершины A на сторону BC, а прилежащей стороной будет половина основания BC, то есть (x / 2).
Запишем уравнение:
tg∠BAC = h / (x/2) = 2h/x.
Теперь подставим значение tg∠BAC:
2h/x = √40/3.
Отсюда выражаем h:
h = (x√40)/(6).
Теперь применим теорему Пифагора в треугольнике AHC, где H – основание высоты h на стороне AC:
AC^2 = AH^2 + HC^2,
где AC = 18, AH = h и HC = x/2.
Подставляем значения:
18^2 = h^2 + (x/2)^2.
Раскроем скобки:
324 = h^2 + (x^2)/4.
Теперь подставим h из предыдущего уравнения:
324 = ((x√40)/6)^2 + (x^2)/4.
Раскроем скобки:
324 = (x^2 * 40)/36 + (x^2)/4.
Умножим все уравнение на 36 для удобства:
11664 = 40x^2 + 9x^2.
Сложим:
11664 = 49x^2.
Теперь найдем x^2:
x^2 = 11664 / 49.
Извлечем корень:
x = √(11664 / 49) = 108 / 7.
Ответ:
Длина стороны AB равна 108/7 м.