Дано:
Треугольник ABC,
AB = BC,
AC = 10 м,
tg∠BAC = √11/5.
Найти:
длину стороны AB.
Решение:
Обозначим стороны треугольника как AB = AC = x. Так как AB = BC, то в треугольнике ACB можно использовать свойства равнобедренного треугольника.
Сначала воспользуемся определением тангенса угла:
tg∠BAC = противолежащая сторона / прилежащая сторона.
В данном случае противолежащей стороной является высота h из вершины A на сторону BC, а прилежащей стороной — половина основания BC, которое также равно x, так как AB = BC.
Поэтому:
tg∠BAC = h / (x/2) = 2h/x.
Теперь подставим значение tg∠BAC:
2h/x = √11/5.
Отсюда выражаем h:
h = (x√11)/(10).
Теперь можем найти х, используя теорему Пифагора в треугольнике AHC, где H – основание высоты h на стороне AC:
AC^2 = AH^2 + HC^2.
Заменим значения:
10^2 = h^2 + (x/2)^2.
Подставим h:
10^2 = ((x√11)/10)^2 + (x/2)^2.
Раскроем скобки:
100 = (x^2 * 11)/100 + (x^2)/4.
Умножим все уравнение на 100 для удобства:
10000 = 11x^2 + 25x^2.
Сложим:
10000 = 36x^2.
Выразим x^2:
x^2 = 10000/36 = 2500/9.
Теперь найдем x:
x = √(2500/9) = 50/3.
Ответ:
Длина стороны AB равна 50/3 м.