дано:
- стороны треугольника: a = 4, b = 5, c = 6.
найти: высоты треугольника h_a, h_b и h_c, проведенные к сторонам a, b и c соответственно.
решение:
1. Сначала найдем площадь треугольника по формуле Герона. Для этого вычислим полупериметр p:
p = (a + b + c) / 2 = (4 + 5 + 6) / 2 = 15 / 2 = 7.5.
2. Теперь используем формулу Герона для нахождения площади S:
S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).
Подставляем значения:
S = sqrt(7.5 * (7.5 - 4) * (7.5 - 5) * (7.5 - 6))
= sqrt(7.5 * 3.5 * 2.5 * 1.5).
3. Вычислим произведение:
7.5 * 3.5 = 26.25,
26.25 * 2.5 = 65.625,
65.625 * 1.5 = 98.4375.
Таким образом:
S = sqrt(98.4375) ≈ 9.9216.
4. Теперь можем найти высоты h_a, h_b и h_c по формуле:
h = 2S / основание.
5. Высота h_a к стороне a (длиной 4):
h_a = 2S / a = 2 * 9.9216 / 4 = 4.9608.
6. Высота h_b к стороне b (длиной 5):
h_b = 2S / b = 2 * 9.9216 / 5 = 3.96864.
7. Высота h_c к стороне c (длиной 6):
h_c = 2S / c = 2 * 9.9216 / 6 = 3.3064.
ответ:
h_a ≈ 4.9608,
h_b ≈ 3.96864,
h_c ≈ 3.3064.