дано:
- AC = 15
- BM = 43 (медиана, делит сторону AC пополам)
найти: AM
решение:
1. Так как BM является медианой, то точка M является серединой отрезка AC. Это означает, что:
AM + MC = AC.
2. Обозначим AM как x. Поскольку M является серединой AC, можно сказать, что:
MC = AC - AM = 15 - x.
3. Теперь применим теорему о медиане в треугольнике. Существуют следующие отношения в треугольнике ABC:
BM^2 = (1/4) * (2 * AM^2 + 2 * MC^2).
4. Подставляем известные значения и упростим выражение:
43^2 = (1/4) * (2 * x^2 + 2 * (15 - x)^2).
5. Вычислим 43^2:
1849 = (1/4) * (2x^2 + 2(225 - 30x + x^2))
= (1/4) * (2x^2 + 450 - 60x + 2x^2)
= (1/4) * (4x^2 - 60x + 450).
6. Умножим обе стороны на 4 для избавления от дроби:
7396 = 4x^2 - 60x + 450.
7. Приведем уравнение к стандартному виду:
4x^2 - 60x + 450 - 7396 = 0
4x^2 - 60x - 6946 = 0.
8. Разделим уравнение на 4 для упрощения:
x^2 - 15x - 1736.5 = 0.
9. Используем формулу квадратичного уравнения:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a),
где a = 1, b = -15, c = -1736.5.
10. Находим дискриминант:
D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 * 1 * (-1736.5) = 225 + 6946 = 7161.
11. Находим корни:
x = (15 ± √7161) / 2.
12. Приблизительное значение √7161 ≈ 84.6, тогда:
x = (15 ± 84.6) / 2.
13. Находим два возможных значения:
x1 = (15 + 84.6) / 2 ≈ 49.8
x2 = (15 - 84.6) / 2 ≈ -34.8 (отрицательное значение не имеет смысла в геометрии).
14. Таким образом, принимаем только положительное значение:
AM = 49.8.
ответ: AM ≈ 49.8.