дано:
- AC = 39
- BM = 36 (медиана, делит сторону AC пополам)
найти: AM
решение:
1. Так как BM является медианой, точка M является серединой отрезка AC. Это означает, что:
AM + MC = AC.
2. Обозначим AM как x. Поскольку M является серединой AC, можно сказать, что:
MC = AC - AM = 39 - x.
3. Применим теорему о медиане в треугольнике ABC. Существуют следующие отношения:
BM^2 = (1/4) * (2 * AM^2 + 2 * MC^2).
4. Подставляем известные значения и упростим выражение:
36^2 = (1/4) * (2 * x^2 + 2 * (39 - x)^2).
5. Вычислим 36^2:
1296 = (1/4) * (2x^2 + 2(1521 - 78x + x^2))
= (1/4) * (2x^2 + 3042 - 156x + 2x^2)
= (1/4) * (4x^2 - 156x + 3042).
6. Умножим обе стороны на 4 для избавления от дроби:
5184 = 4x^2 - 156x + 3042.
7. Приведем уравнение к стандартному виду:
4x^2 - 156x + 3042 - 5184 = 0
4x^2 - 156x - 2142 = 0.
8. Разделим уравнение на 4 для упрощения:
x^2 - 39x - 535.5 = 0.
9. Используем формулу квадратичного уравнения:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)),
где a = 1, b = -39, c = -535.5.
10. Находим дискриминант:
D = b^2 - 4ac = (-39)^2 - 4 * 1 * (-535.5) = 1521 + 2142 = 3663.
11. Находим корни:
x = (39 ± √3663) / 2.
12. Приблизительное значение √3663 ≈ 60.5, тогда:
x = (39 ± 60.5) / 2.
13. Находим два возможных значения:
x1 = (39 + 60.5) / 2 ≈ 49.75
x2 = (39 - 60.5) / 2 ≈ -10.75 (отрицательное значение не имеет смысла в геометрии).
14. Таким образом, принимаем только положительное значение:
AM ≈ 49.75.
ответ: AM ≈ 49.75.