Дано: n > 2. Необходимо доказать, что числа 2^n - 1 и 2^n + 1 не могут быть одновременно простыми.
Найти: доказательство.
Решение:
Рассмотрим два числа: a = 2^n - 1 и b = 2^n + 1.
Для n > 2 мы можем заметить, что n является четным или нечетным.
Случай 1: n - четное
Если n четное, то можно записать n = 2k для некоторого натурального k. В этом случае:
a = 2^(2k) - 1 = (2^k)^2 - 1 = (2^k - 1)(2^k + 1).
Число a имеет два делителя: 2^k - 1 и 2^k + 1, которые оба больше единицы, следовательно, a не может быть простым числом.
Теперь рассмотрим b:
b = 2^(2k) + 1.
Так как a не является простым, мы уже доказали, что при четном n число 2^n - 1 не может быть простым.
Случай 2: n - нечетное
Если n нечетное, то можно записать n = 2k + 1 для некоторого натурального k.
В этом случае:
a = 2^(2k + 1) - 1 = 2 * 2^(2k) - 1 = (2^k - 1)(2^k + 1)(2^k + 2).
Здесь мы видим, что a = 2^(2k + 1) - 1 также невозможно быть простым, так как оно является произведением трех множителей, каждый из которых больше 1.
Теперь рассмотрим b:
b = 2^(2k + 1) + 1.
Из этого видно, что b остается нечетным числом, однако, если a не является простым, то и b не может быть простым.
Таким образом, в обоих случаях a и b не могут быть одновременно простыми.
Ответ: числа 2^n - 1 и 2^n + 1 не могут быть одновременно простыми при n > 2.