Дано: пусть a, b и c - три различных действительных числа.
Нужно найти такие числа a, b и c, чтобы выполнялось следующее условие:
a + b * c = b + c * a = c + a * b
Решение:
1. Запишем равенства по каждому из условий:
a + b * c = b + c * a (1)
b + c * a = c + a * b (2)
c + a * b = a + b * c (3)
2. Из первого равенства (1) выразим a:
a + b * c = b + c * a
a - c * a = b - b * c
a(1 - c) = b(1 - c)
Если 1 - c не равно 0, можем разделить обе стороны на 1 - c:
a = b
Это противоречит условию о том, что a, b и c различны. Поэтому 1 - c = 0, что означает, что c = 1.
3. Теперь подставим c = 1 в остальные равенства:
a + b * 1 = b + 1 * a
a + b = b + a
Это равенство всегда верно.
4. Теперь рассмотрим второе равенство:
b + 1 * a = 1 + a * b
b + a = 1 + ab
ab - a - b + 1 = 0
5. Это уравнение можно рассматривать как квадратное относительно a:
a(b - 1) - b + 1 = 0
a = (b - 1)/(b - 1)
Здесь b ≠ 1, так как a и b должны быть различными. Если b = 2, то:
a(2 - 1) - 2 + 1 = 0
a(1) = 1, следовательно, a = 1, а b = 2. Подбирая c = 3, мы получаем:
1 + 2 * 3 = 7
2 + 3 * 1 = 5 != 6
Заменяем b на 3 и получаем:
1 + 3 * 2 = 7
3 + 2 * 1 = 5 != 6
Таким образом, мы видим, что для различных чисел это равенство не выполняется.
Ответ: таких трех различных действительных чисел не существует.