Дано:
- Объём резервуара: 540 л
- Время, через которое в двух резервуарах оказалось 540 л воды: t (минут)
- Первый насос заполнил резервуар через 5 минут после t
- Второй насос закончил работу через 15 минут после первого насоса
Найти:
- Производительность первого насоса (Q1) в л/мин
- Производительность второго насоса (Q2) в л/мин
- Объём воды, который накачал бы первый насос за время, необходимое для заполнения одного резервуара при совместной работе
Решение:
1. В момент t оба насоса вместе наполнили 540 л.
2. Обозначим производительность первого насоса как Q1 (л/мин), а второго как Q2 (л/мин).
3. Общее количество воды, которое они накачали за t минут:
540 = (Q1 + Q2) * t (1)
4. Через 5 минут после момента t первый насос заполнил свой резервуар, т.е. он работал (t + 5) минут. Таким образом,
540 = Q1 * (t + 5) (2)
5. Второй насос закончил работу через 15 минут после первого, т.е. он работал (t + 20) минут:
540 = Q2 * (t + 20) (3)
Теперь у нас есть система из трех уравнений:
1) 540 = (Q1 + Q2) * t
2) 540 = Q1 * (t + 5)
3) 540 = Q2 * (t + 20)
Из уравнения (2) выразим Q1:
Q1 = 540 / (t + 5)
Из уравнения (3) выразим Q2:
Q2 = 540 / (t + 20)
Подставим Q1 и Q2 в уравнение (1):
540 = (540 / (t + 5) + 540 / (t + 20)) * t
Упростим это уравнение:
540 = 540t / (t + 5) + 540t / (t + 20)
Сократим на 540:
1 = t / (t + 5) + t / (t + 20)
Приведём к общему знаменателю:
1 = t(t + 20 + t + 5) / ((t + 5)(t + 20))
1 = t(2t + 25) / ((t + 5)(t + 20))
Умножим обе стороны на (t + 5)(t + 20):
(t + 5)(t + 20) = t(2t + 25)
Раскроем скобки:
t^2 + 25t + 100 = 2t^2 + 25t
Сократим 25t:
t^2 + 100 = 2t^2
Переносим все в одну сторону:
t^2 = 100
Таким образом, t = 10 минут.
Теперь подставим значение t в уравнения для Q1 и Q2:
Q1 = 540 / (10 + 5) = 540 / 15 = 36 л/мин
Q2 = 540 / (10 + 20) = 540 / 30 = 18 л/мин
Теперь найдём, сколько литров воды накачал бы первый насос за время, которое требуется обоим насосам для заполнения одного резервуара при совместной работе:
Общее время для заполнения одного резервуара при совместной работе:
t_общ = 540 / (Q1 + Q2) = 540 / (36 + 18) = 540 / 54 = 10 минут
Объём воды, который накачал бы первый насос за 10 минут:
V1 = Q1 * t_общ = 36 * 10 = 360 литров.
Ответ:
Производительность первого насоса: 36 л/мин. Производительность второго насоса: 18 л/мин. Первый насос накачал бы 360 литров воды за время, необходимое для заполнения одного резервуара при совместной работе.