Дано:
Первый и второй насосы вместе наполняют бассейн за 1,5 ч = 90 мин.
Второй и третий насосы вместе наполняют бассейн за 3 ч = 180 мин.
Первый и третий насосы вместе наполняют бассейн за 2 ч = 120 мин.
Найти:
Время, за которое три насоса, работая одновременно, наполнят бассейн, в минутах.
Решение:
Обозначим скорость первого насоса как V1, второго как V2 и третьего как V3.
Согласно условиям, имеем:
1) V1 + V2 = 1/90 (бассейн/мин),
2) V2 + V3 = 1/180 (бассейн/мин),
3) V1 + V3 = 1/120 (бассейн/мин).
Теперь выразим каждую скорость:
1) V1 = 1/90 - V2,
2) V3 = 1/180 - V2,
3) подставим V1 и V3 из первых двух уравнений в третье:
(1/90 - V2) + (1/180 - V2) = 1/120.
Упрощаем уравнение:
1/90 + 1/180 - 2V2 = 1/120.
Найдём общий знаменатель (360):
4/360 + 2/360 - 2V2 = 3/360.
Упрощаем:
6/360 - 2V2 = 3/360,
3/360 = 2V2,
V2 = 3/720 = 1/240 (бассейн/мин).
Теперь подставим V2 в уравнения для V1 и V3:
V1 = 1/90 - 1/240.
Приведем к общему знаменателю (720):
V1 = 8/720 - 3/720 = 5/720 (бассейн/мин).
V3 = 1/180 - 1/240.
Приведем к общему знаменателю (720):
V3 = 4/720 - 3/720 = 1/720 (бассейн/мин).
Теперь найдем общую скорость:
V_total = V1 + V2 + V3 = 5/720 + 1/240 + 1/720.
Приведем все к общему знаменателю (720):
V_total = 5/720 + 3/720 + 1/720 = 9/720 = 1/80 (бассейн/мин).
Теперь найдем время, необходимое для наполнения одного бассейна:
t = 1 / V_total = 1 / (1/80) = 80 мин.
Ответ: Три насоса, работая одновременно, наполнят бассейн за 80 минут.