Дано:
Первый и второй насосы вместе наполняют бассейн за 9 ч = 540 мин.
Второй и третий насосы вместе наполняют бассейн за 18 ч = 1080 мин.
Первый и третий насосы вместе наполняют бассейн за 12 ч = 720 мин.
Найти:
Время, за которое три насоса, работая одновременно, наполнят бассейн, в минутах.
Решение:
Обозначим скорость первого насоса как V1, второго как V2 и третьего как V3.
Согласно условиям, имеем:
1) V1 + V2 = 1/540 (бак/мин),
2) V2 + V3 = 1/1080 (бак/мин),
3) V1 + V3 = 1/720 (бак/мин).
Теперь выразим каждую скорость:
1) V1 = 1/540 - V2,
2) V3 = 1/1080 - V2,
3) подставим V1 и V3 из первых двух уравнений в третье:
(1/540 - V2) + (1/1080 - V2) = 1/720.
Упрощаем уравнение:
1/540 + 1/1080 - 2V2 = 1/720.
Найдём общий знаменатель (2160):
4/2160 + 2/2160 - 2V2 = 3/2160.
Упрощаем:
6/2160 - 2V2 = 3/2160,
2/2160 = 2V2,
V2 = 1/2160 (бак/мин).
Теперь подставим V2 в уравнения для V1 и V3:
V1 = 1/540 - 1/2160.
Приведем к общему знаменателю (2160):
V1 = 4/2160 - 1/2160 = 3/2160 (бак/мин).
V3 = 1/1080 - 1/2160.
Приведем к общему знаменателю (2160):
V3 = 2/2160 - 1/2160 = 1/2160 (бак/мин).
Теперь найдем общую скорость:
V_total = V1 + V2 + V3 = 3/2160 + 1/2160 + 1/2160 = 5/2160 (бак/мин).
Теперь найдем время, необходимое для наполнения одного бассейна:
t = 1 / V_total = 1 / (5/2160) = 2160 / 5 = 432 мин.
Ответ: Три насоса, работая одновременно, наполнят бассейн за 432 минуты.