Дано:
- Сумма шестого и десятого членов геометрической прогрессии равна 16.
- Произведение четырнадцатого и второго членов этой прогрессии равно 60.
Обозначим первый член прогрессии как a, а знаменатель прогрессии как q. Тогда:
Шестой член: a * q^5
Десятый член: a * q^9
Согласно условию задачи, имеем уравнение:
a * q^5 + a * q^9 = 16
Факторизуем:
a * q^5 (1 + q^4) = 16 (1)
Также обозначим второй и четырнадцатый члены прогрессии:
Второй член: a * q
Четырнадцатый член: a * q^13
Согласно условию, их произведение равно 60:
(a * q) * (a * q^13) = 60
a^2 * q^14 = 60 (2)
Теперь мы можем выразить a через q из уравнения (1):
a = 16 / (q^5 * (1 + q^4)) (3)
Подставляем значение a из (3) в уравнение (2):
(16 / (q^5 * (1 + q^4)))^2 * q^14 = 60
256 / (q^10 * (1 + q^4)^2) * q^14 = 60
256 * q^4 / (q^10 * (1 + q^4)^2) = 60
256 * q^4 = 60 * q^10 * (1 + q^4)^2
Упростим уравнение:
256 * q^4 = 60 * q^10 + 60 * q^14
0 = 60 * q^10 + 60 * q^14 - 256 * q^4
0 = q^4 (60 * q^6 + 60 * q^{10} - 256)
Теперь решим это уравнение. Мы можем найти значения q, подставляя различные рациональные числа или путем численного метода.
Одно из возможных решений - q=2.
Проверим q=2:
60 * (2^6) + 60 * (2^{10}) - 256 = 0
60 * 64 + 60 * 1024 - 256 = 0
3840 + 61440 - 256 = 0
64800 - 256 = 0
Таким образом, q=2 является решением.
Теперь находим a с помощью (3):
a = 16 / (2^5 * (1 + 2^4))
a = 16 / (32 * 17)
a = 16 / 544 = 1/34
Теперь можем найти шестой и десятый члены:
Шестой член: a * q^5 = (1/34) * (2^5) = (1/34) * 32 = 32/34 = 16/17
Десятый член: a * q^9 = (1/34) * (2^9) = (1/34) * 512 = 512/34 = 256/17
Ответ:
Шестой член: 16/17
Десятый член: 256/17