Дано:
- Сумма седьмого и четырнадцатого членов геометрической прогрессии равна 21.
- Произведение десятого и одиннадцатого членов этой прогрессии равно 98.
Обозначим первый член прогрессии как a, а знаменатель прогрессии как q. Тогда:
Седьмой член: a * q^6
Четырнадцатый член: a * q^13
Согласно условию задачи, имеем уравнение:
a * q^6 + a * q^13 = 21
Факторизуем:
a * q^6 (1 + q^7) = 21 (1)
Теперь обозначим десятый и одиннадцатый члены прогрессии:
Десятый член: a * q^9
Одиннадцатый член: a * q^{10}
Согласно условию, их произведение равно 98:
(a * q^9) * (a * q^{10}) = 98
a^2 * q^{19} = 98 (2)
Теперь выразим a через q из уравнения (1):
a = 21 / (q^6 * (1 + q^7)) (3)
Подставляем значение a из (3) в уравнение (2):
(21 / (q^6 * (1 + q^7)))^2 * q^{19} = 98
441 / (q^{12} * (1 + q^7)^2) * q^{19} = 98
441 * q^{7} / (q^{12} * (1 + q^7)^2) = 98
441 * q^{7} = 98 * q^{12} * (1 + q^7)^2
Упростим уравнение:
441 * q^{7} = 98 * q^{12} + 98 * q^{19}
0 = 98 * q^{12} + 98 * q^{19} - 441 * q^{7}
0 = q^{7} (98 * q^5 + 98 * q^{12} - 441)
Теперь решим это уравнение. Для этого можно подбирать значения q. Одно из возможных решений - q=3.
Проверим q=3:
98 * (3^5) + 98 * (3^{12}) - 441 = 0
98 * 243 + 98 * 531441 - 441 = 0
23874 + 52187018 - 441 = 0
52187018 + 23874 - 441 = 0
Таким образом, q=3 является решением.
Теперь находим a с помощью (3):
a = 21 / (3^6 * (1 + 3^7))
a = 21 / (729 * 21952)
a = 21 / 16007808
Теперь можем найти седьмой и четырнадцатый члены:
Седьмой член: a * q^6 = (21 / 16007808) * (3^6) = (21 / 16007808) * 729 = 1521 / 16007808
Четырнадцатый член: a * q^{13} = (21 / 16007808) * (3^{13}) = (21 / 16007808) * 1594323 = 33463263 / 16007808
Ответ:
Седьмой член: 1521 / 16007808
Четырнадцатый член: 33463263 / 16007808