дано:
Количество автомобилей n
найти:
Математическое ожидание случайной величины G, равной числу получившихся групп.
решение:
Каждый автомобиль имеет уникальную скорость. Давайте проанализируем процесс формирования групп на дороге. Если мы рассмотрим последовательность скоростей автомобилей как случайную перестановку, то можно заметить, что группа формируется, когда встречается медленнее едущий автомобиль после быстрого.
Определим индикаторную случайную величину J_i, которая равна 1, если i-й автомобиль начинает новую группу, и 0 в противном случае. Автомобиль i начнет новую группу, если его скорость выше, чем у автомобиля, который его предшествует (i-1), или если это первый автомобиль. Таким образом, общее количество групп G можно выразить как:
G = J_1 + J_2 + ... + J_n
Теперь найдем математическое ожидание E(G):
E(G) = E(J_1) + E(J_2) + ... + E(J_n)
Где:
- E(J_1) = 1, так как первый автомобиль всегда начинает новую группу.
- Для i-го автомобиля (где i > 1), вероятность того, что он начнет новую группу, равна 1/2, поскольку у него есть равные шансы быть быстрее или медленнее предыдущего автомобиля в случайной перестановке.
Следовательно:
E(J_i) = 1/2 для i = 2, ..., n
Таким образом:
E(G) = 1 + (n - 1) * (1/2) = 1 + (n - 1)/2 = (n + 1) / 2
ответ:
Математическое ожидание числа получившихся групп равно (n + 1) / 2.