Дано:
- Иван Иванович может прийти от 15:00 до 16:00, т.е. в интервале [0, 60] минут, где 0 соответствует 15:00, а 60 — 16:00.
- Иван Никифорович уходит на 10 минут в какой-то момент между 15:00 и 16:00.
Найти:
Вероятность того, что Иван Иванович застал Ивана Никифоровича дома.
Решение:
1. Позначим время прихода Ивана Ивановича как T (где T — это время в минутах после 15:00, то есть T принадлежит [0, 60]).
2. Обозначим момент ухода Ивана Никифоровича как U (где U также находится в интервале [0, 60]). Он будет отсутствовать с момента U до момента U + 10 минут.
3. Чтобы Иван Иванович застал Ивана Никифоровича дома, необходимо, чтобы время T прихода Ивана Ивановича находилось в интервале [0, U] или T > U + 10.
4. Теперь определим область возможных значений для времён T и U. Это прямоугольник со сторонами 60 минут (по оси U) и 60 минут (по оси T), площадью 60 * 60 = 3600 квадратных минут.
5. Теперь рассмотрим допустимые значения T, при которых встреча не состоится, т.е. когда T находится внутри интервала [U, U + 10].
6. Если U находится между 0 и 50 (включительно), то Иван Никифорович будет отсутствовать в интервале [U, U + 10], который занимает 10 минут. Если U >= 50, то он будет отсутствовать только до 60. Таким образом, для U > 50, интервал становится меньше 10 минут.
7. Площадь области, где они не могут встретиться, равна:
- Для U от 0 до 50: длина отрезка [U, U + 10] составляет 10 минут.
- Для U от 50 до 60: длина отрезка уменьшается по мере U приближается к 60 (например, для U = 55, длительность отсутствия составляет 5 минут).
8. Площадь, где они не могут встретиться, можно выразить через интеграл:
P(не встреча) = ∫ от 0 до 50 (10) dU + ∫ от 50 до 60 (60 - U) dU
Первое слагаемое: 10 * 50 = 500.
Второе слагаемое: ∫ от 50 до 60 (60 - U) dU = [(60U - U^2/2)] от 50 до 60 = (60*60 - 60^2/2) - (60*50 - 50^2/2) = (3600 - 1800) - (3000 - 1250) = 1800 - 1750 = 50.
Общая площадь, где они не могут встретиться, равна 500 + 50 = 550.
9. Вероятность того, что Иван Иванович не застал Ивана Никифоровича дома:
P(не встреча) = 550 / 3600 = 11/72.
10. Вероятность того, что они встретятся:
P(встреча) = 1 - P(не встреча) = 1 - 11/72 = 61/72.
Ответ:
Вероятность того, что Иван Иванович застал Ивана Никифоровича дома, равна 61/72.