Дано:
- Последовательность из n случайных и независимых цифр (0-9).
- Операция: замена нескольких одинаковых подряд идущих цифр на одну такую же цифру.
Найти:
- Вероятность того, что последовательность укоротится:
а) ровно на одну цифру;
б) ровно на k цифр.
Решение:
а) Для нахождения вероятности, что последовательность укоротится ровно на одну цифру, необходимо рассмотреть ситуацию, при которой имеется одна пара одинаковых подряд идущих цифр.
Пусть у нас есть случайная последовательность из n цифр. Сначала определим количество пар одинаковых цифр.
Для каждой цифры от 1 до n-1 мы рассматриваем пару: (число_i, число_(i+1)). Если они равны, то это потенциальное место для сокращения.
Вероятность того, что i-я цифра равна (i+1)-й цифре (например, оба равны x) равна 1/10 (так как всего 10 возможных цифр).
Теперь, чтобы посчитать вероятность того, что в последовательности n цифр произойдет укорочение ровно на одну цифру, нам нужно, чтобы существовала хотя бы одна такая пара, а все остальные пары не совпадали.
Количество способов выбрать одну пару из (n-1) — это C(n-1, 1) = (n-1).
Вероятность совпадения одной конкретной пары = 1/10, а остальных (n-2) пар = (9/10)^(n-2).
Таким образом, вероятность укорочения ровно на одну цифру будет равна:
P(укорочение на 1 цифру) = (n-1) * (1/10) * (9/10)^(n-2).
б) Теперь найдем вероятность того, что последовательность укоротится ровно на k цифр.
Чтобы последовательность укоротилась ровно на k цифр, должно быть k пар подряд идущих одинаковых цифр. Это означает, что необходимо найти k мест, где происходит сокращение, и остальные (n - k - 1) должны быть различными.
Таким образом, мы имеем:
1. Должно быть k пар одинаковых цифр, которые можно выбрать.
2. Остальные цифры (n - k) должны быть такими, чтобы не было дополнительных сокращений.
Количество способов выбрать k пар из (n-1) равно C(n-1, k).
Вероятность того, что k пар действительно окажутся одинаковыми = (1/10)^k.
Вероятность того, что (n-k-1) цифр будут различны = (9/10)^(n-k-1).
Следовательно, вероятность укорочения ровно на k цифр составит:
P(укорочение на k цифр) = C(n-1, k) * (1/10)^k * (9/10)^(n-k-1).
Ответ:
а) Вероятность того, что последовательность укоротится ровно на одну цифру равна (n-1) * (1/10) * (9/10)^(n-2).
б) Вероятность того, что последовательность укоротится ровно на k цифр равна C(n-1, k) * (1/10)^k * (9/10)^(n-k-1).