Дано:
- Длина исходной последовательности: n = 2015
- Количество букв в английском алфавите: 26
Найти:
Математическое ожидание длины новой последовательности после замены подряд идущих одинаковых букв.
Решение:
1. Обозначим длину новой последовательности как L. Чтобы понять, как образуется новая последовательность, рассмотрим вероятности появления различных букв.
2. Для каждой буквы в исходной последовательности, кроме первой, существует вероятность, что она совпадает с предыдущей буквой. Если две буквы подряд одинаковые, то они будут заменены на одну. Если они разные, то увеличивают длину новой последовательности.
3. Вероятность того, что i-я буква совпадает с (i-1)-й: P(совпадение) = 1/26 (так как каждая буква выбирается независимо).
4. Вероятность того, что i-я буква не совпадает с (i-1)-й: P(не совпадение) = 25/26.
5. Теперь определим математическое ожидание длины L:
L = 1 + (n - 1) * P(не совпадение)
где 1 — это первая буква, а (n - 1) — количество оставшихся букв, за каждую из которых мы учитываем вероятность.
6. Подставим значения:
L = 1 + (2015 - 1) * (25/26)
L = 1 + 2014 * (25/26)
7. Вычислим:
2014 * (25/26) = 2014 * 25 / 26 = 50350 / 26 ≈ 1936.5385
Теперь подставим в формулу:
L ≈ 1 + 1936.5385 ≈ 1937.5385
8. Округляем до ближайшего целого числа (так как длина последовательности не может быть дробной):
L ≈ 1938.
Ответ:
Математическое ожидание длины новой последовательности составляет примерно 1938.