Question

У Сергея Петровича болели уши и левое колено. Доктор прописал ему 10 пилюль от боли в колене: принимать по одной ежедневно. Пилюли помогают в 90 % случаев, а в 2 % случаев наблюдается побочное действие — перестают болеть уши, если болели. Другой доктор прописал пилюли от боли в ушах — тоже по одной в день 10 дней подряд. Эти пилюли излечивают уши в 80 % случаев, но в 5 % случаев есть побочный эффект — перестают болеть колени, если болели. Баночки с пилюлями похожи, и когда Сергей Петрович уехал в командировку на 10 дней, он взял с собой одну баночку, но совершенно не обратил внимания, какую. Десять дней он принимал по одной пилюле в день. Найдите вероятность того, что Сергей Петрович взял с собой пилюли от боли в ушах, если:
а)  он вернулся совершенно здоровым: не болят ни уши, ни колено;
б)  уши у Сергея Петровича больше не болят, а колено лучше не стало.

Answer 1

Дано:

Обозначим события:
- A1: Сергей Петрович взял пилюли от боли в ушах.
- A2: Сергей Петрович взял пилюли от боли в колене.
- B: Сергей Петрович вернулся совершенно здоровым (не болят ни уши, ни колено).
- C: Уши у Сергея Петровича больше не болят, а колено лучше не стало.

Вероятности:
- P(B|A1): вероятность, что он вернется здоровым при использовании пилюль от ушных болей.
- P(B|A2): вероятность, что он вернется здоровым при использовании пилюль от коленных болей.
- P(A1) = P(A2) = 0.5: так как он мог взять любую из двух баночек.

Рассчитаем P(B|A1):

При использовании пилюль от боли в ушах:
- Вероятность того, что уши исцелятся: 0.8.
- Вероятность того, что болеть останутся: 0.2.
- Вероятность, что колено вылечится (побочный эффект): 0.05.
- Вероятность, что колено не вылечится: 0.95.

Тогда:
P(B|A1) = P(уши не болят | ушные пилюли) * P(колено не болит | ушные пилюли)
= 0.8 * 0.95 + 0.2 * 0.95
= 0.76 + 0.19
= 0.95.

Теперь рассчитаем P(B|A2):

При использовании пилюль от боли в колене:
- Вероятность, что колено исцелится: 0.9.
- Вероятность, что колено не болит: 0.1.
- Вероятность, что уши вылечатся (побочный эффект): 0.02.
- Вероятность, что уши не вылечатся: 0.98.

Тогда:
P(B|A2) = P(уши не болят | коленные пилюли) * P(колено не болит | коленные пилюли)
= 0.98 * 0.9 + 0.02 * 0.1
= 0.882 + 0.002
= 0.884.

Теперь, используя формулу полной вероятности для B:

P(B) = P(B|A1) * P(A1) + P(B|A2) * P(A2)
= 0.95 * 0.5 + 0.884 * 0.5
= 0.475 + 0.442
= 0.917.

И теперь можем найти P(A1|B) с помощью теоремы Байеса:

P(A1|B) = (P(B|A1) * P(A1)) / P(B)
= (0.95 * 0.5) / 0.917
≈ 0.517.

Ответа для пункта а:
Вероятность того, что Сергей Петрович взял пилюли от боли в ушах, если он вернулся совершенно здоровым, составляет приблизительно 0.517.

Теперь перейдем к пункту б:

В этом случае мы ищем P(A1|C), где C — уши не болят, а колено лучше не стало.

Сначала найдем P(C|A1) и P(C|A2):
- P(C|A1): вероятность, когда уши не болят и колено не улучшилось.
= 0.2 * 0.95 = 0.19.

- P(C|A2): вероятность, когда уши не болят и колено не улучшилось.
= 0.98 * 0.1 = 0.098.

Теперь используем формулу полной вероятности для C:

P(C) = P(C|A1) * P(A1) + P(C|A2) * P(A2)
= 0.19 * 0.5 + 0.098 * 0.5
= 0.095 + 0.049
= 0.144.

Теперь находим P(A1|C):

P(A1|C) = (P(C|A1) * P(A1)) / P(C)
= (0.19 * 0.5) / 0.144
≈ 0.659.

Ответ для пункта б:
Вероятность того, что Сергей Петрович взял пилюли от боли в ушах, если уши больше не болят, а колено лучше не стало, составляет приблизительно 0.659