Дано:
- 2 баночки, каждая содержит 10 пилюль.
- Математик начинает принимать пилюли с 1 сентября и принимает их один раз в день.
- Каждый день он случайно выбирает одну из двух баночек.
Найти:
Вероятность того, что 13 сентября Математик впервые обнаружит, что в баночке, лежащей в кармане, нет пилюль.
Решение:
1. Математик принимает пилюли с 1 по 13 сентября, всего 13 дней.
2. Для того чтобы 13 сентября он обнаружил пустую баночку, нужно, чтобы:
- До 13 сентября он использовал обе баночки.
- В одной из баночек должно быть 10 пилюль, а в другой — 0.
3. Обозначим:
- A: баночка с 10 пилюлями.
- B: баночка с 10 пилюлями.
4. Возможные случаи использования баночек:
- M: баночка, выбранная Математиком в день n.
5. Математик может выбрать:
- 1 раз A и 12 раз B,
- 2 раза A и 11 раз B,
- 3 раза A и 10 раз B,
- ...,
- 10 раз A и 3 раза B.
6. Количество всех возможных последовательностей выборов баночек за 13 дней:
- 2^13 (каждый день две возможности).
7. Для того чтобы 13 сентября обнаружить пустую баночку:
- 10 пилюль должны быть использованы, при этом должно быть:
- 10 выборов одной баночки и 3 выбора другой.
8. Найдем количество способов, как можно выбрать 10 пилюль из одной баночки (это может быть A или B):
- C(12, 10) = 12! / (10! * 2!) = 66 (где C — биномиальный коэффициент).
9. Учитывая, что выбор баночек может быть равным для A и B, умножаем на 2 (можно использовать либо A, либо B):
- 66 * 2 = 132.
10. Вероятность того, что 13 сентября он обнаружит пустую баночку:
- P = количество благоприятных исходов / общее количество исходов = 132 / 8192 = 1 / 62.
Ответ:
Вероятность того, что 13 сентября Математик впервые обнаружит, что в баночке нет пилюль, равна 1/62.