дано:
События A и B.
найти:
Докажем равенство: P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A).
решение:
Начнем с определения условной вероятности. Условная вероятность события A при условии, что произошло событие B, определяется как:
P(A|B) = P(A и B) / P(B), если P(B) > 0.
Аналогично, для события B при условии, что произошло событие A:
P(B|A) = P(A и B) / P(A), если P(A) > 0.
Теперь выразим P(A и B) через обе эти формулы.
Из первой формулы умножим обе стороны на P(B):
P(A|B) * P(B) = P(A и B).
Из второй формулы умножим обе стороны на P(A):
P(B|A) * P(A) = P(A и B).
Теперь у нас есть два выражения для P(A и B):
1. P(A|B) * P(B) = P(A и B).
2. P(B|A) * P(A) = P(A и B).
Так как оба выражения равны P(A и B), то мы можем приравнять их:
P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A).
Таким образом, мы доказали требуемое равенство.
ответ:
Равенство P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A) доказано.