Дано: Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 расположены 5 точек.
Найти: Доказать, что расстояние между некоторыми двумя из этих точек меньше 0.5.
Решение:
1. Разделим равносторонний треугольник на 4 равносторонних треугольника меньшего размера. Для этого проведем отрезки, соединяющие середины сторон большого треугольника. Эти отрезки образуют 4 меньших равносторонних треугольника.
2. Каждый из этих меньших треугольников имеет сторону равную 1/2 стороны большого треугольника, то есть 1/2. Площадь каждого меньшего треугольника равна (1/2)^2 * (sqrt(3)/4) = 1/16 * sqrt(3)/4 = sqrt(3)/64.
3. Площадь большого треугольника равна (1)^2 * (sqrt(3)/4) = sqrt(3)/4.
4. Теперь воспользуемся принципом Дирихле. Внутри большого треугольника мы имеем 5 точек, и разделили треугольник на 4 меньших равносторонних треугольника. По принципу Дирихле, если больше 4 точек, чем областей, то по крайней мере одна область должна содержать как минимум 2 точки.
5. Значит, по крайней мере одна из 4 меньших треугольников содержит как минимум 2 из 5 точек. Расстояние между любыми двумя точками внутри одного из меньших треугольников не может превышать сторону этого меньшего треугольника, то есть 1/2.
Таким образом, в любом из меньших треугольников расстояние между двумя точками не может превышать 1/2. Это доказывает, что существует пара точек среди данных 5 точек, расстояние между которыми меньше 0.5.
Ответ: Да, расстояние между некоторыми двумя из данных 5 точек меньше 0.5.