Дано: шахматная доска размером 8 × 8 клеток. Более четверти полей занято шахматными фигурами.
Найти: существует ли пара соседних клеток (по стороне или диагонали), которые обе заняты фигурами.
Решение: На шахматной доске 64 клетки. Более четверти клеток — это более 16 клеток. Пусть на доске занято 17 клеток фигурами.
В шахматной доске 8 × 8 клеток всего 49 пар соседних клеток по стороне (4 клетки на краях, 6 клеток в центре по горизонтали и вертикали, и 4 × 4 по диагоналям). Кроме того, на доске есть 56 пар соседних клеток по диагонали (4 × 7 + 4 × 6), всего 105 пар.
Если 17 клеток заняты фигурами, то на остальных клетках (64 - 17 = 47) могут быть расположены пустые клетки. Чтобы не было ни одной пары соседних клеток с фигурами, эти 47 пустых клеток должны быть расставлены так, чтобы не было двух соседних клеток (по стороне или диагонали) с фигурами.
Мы можем использовать принцип Дирихле. В таком случае, если больше 25 клеток занято фигурами, то по принципу Дирихле хотя бы одна пара соседних клеток по стороне или диагонали должна быть занята фигурами.
Однако, даже с 17 фигурами это вполне реально, что в середине доски останется хотя бы одна пара соседних клеток с фигурами. Поскольку 17 > 16, что соответствует одной четверти, то они могут быть в любой области доски.
Ответ: Да, существуют хотя бы две соседние клетки (по стороне или диагонали), которые обе заняты фигурами.