Дано:
- 7 отрезков с длинами, заключенными между 0,1 м и 1 м.
Найти:
- Докажите, что среди этих отрезков можно выбрать три, которые образуют треугольник.
Решение:
1. По теореме о треугольниках, для того чтобы три отрезка образовали треугольник, необходимо и достаточно, чтобы сумма длин двух отрезков была больше длины третьего отрезка. То есть, для отрезков a, b и c с a ≤ b ≤ c должно выполняться: a + b > c.
2. Рассмотрим длины отрезков a1, a2, ..., a7, которые заключены между 0,1 м и 1 м. Упорядочим их по возрастанию: a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ a4 ≤ a5 ≤ a6 ≤ a7.
3. Чтобы гарантировать существование треугольника, рассмотрим наборы отрезков, где три из них составляют треугольник. Так как отрезки ограничены 0,1 м и 1 м, можем использовать метод контрапозиции: если ни один треугольник нельзя составить из выбранных отрезков, то каждая тройка отрезков должна удовлетворять условию a + b ≤ c для отрезков a ≤ b ≤ c.
4. Если все отрезки имеют длину в пределах от 0,1 м до 1 м, максимальная длина отрезка c может быть 1 м. Тогда сумма двух наименьших отрезков должна быть не больше 1 м. Но, поскольку у нас 7 отрезков, рассмотрим максимальный случай.
5. В худшем случае для того чтобы избежать треугольника, нам нужно, чтобы длина любого отрезка не превышала сумму двух других на 0,01 м. Но имея 7 отрезков, мы можем воспользоваться принципом Дирихле (или контрапозиции), чтобы показать, что среди 7 отрезков можно найти 3 отрезка, для которых выполняется условие для треугольника.
6. Например, выбрав отрезки a4, a5 и a6, мы получаем, что длины отрезков a4, a5 и a6 (все больше или равны длинам отрезков a1, a2, a3) дают возможность удовлетворить условие: a4 + a5 > a6 (так как все отрезки лежат в одном диапазоне и превышают границы для каждого отдельного отрезка).
Ответ:
Среди 7 отрезков, длины которых заключены между 0,1 м и 1 м, обязательно найдутся три отрезка, из которых можно составить треугольник.